Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Ernst Roeser: Über die nichteuklidischen regulären Polyeder



sh r



also cos a. — .
ch a

Nur für n — 4 entspricht somit dem größten sph. auch das größte
hyp. Vieleck, denn dieses wird nullwinklig. Zum größten Dreieck
gibt es kein konjugiertes sphärisches und für n > 4 muß der Bereich
der hyp. Polygone größer sein. Wir können nun auch zu jedem
sph. n = Eck leicht das konjugierte finden. Sei auf der Kugel
irgend ein n-Eck gegeben, so verbinden wir die Mitte einer Seite
mit dem Mittelpunkt der Kugel und errichten in der so bestimmten
hyp. Ebene im Endpunkte des Radius das Lot. Das durch die beiden
Endradien der Polygonseite bestimmte Stück des Lotes ist hyp.
Polygonseite, denn es ist tg a^- = th^-. Für die Stücke des größten
konjugierten Vielecks gelten die Formeln:
7 • o n 2 A 2'V
ch a —-- sm2 = 2 cos^-1 = cos — .
Zn 2 n n
cos —
TZ
2
COS y
Da ehr =-, so folgt ehr = ]/2, also in der Tat sh r — 1.
sin —
n
Auch die hyp. Polyeder, die zu den größten sph. gehören, lassen
sich mit der Kugel s/z r = 1 konstruieren, es sind diejenigen, die
sie als Kantenkugel besitzen. Dieselbe Rolle wie in der Ebene das
Viereck spielt natürlich hier das Oktaeder.