Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

In den«Gött. Nachr. 1902 S. 131 ff. habe ich notwendige Be-
dingungen für den reellen Cauchyschen Integralsatz für ein achsen-
paralleles Rechteck R aufgestellt, die nicht nur von der Stetigkeit,
sondern auch von der Existenz der Differentialquotienten der
Integrandenfunktionen frei sind, den Beweis, daß diese Bedingungen
auch hinreichend seien, aber nur kurz angedeutet. Die damaligen
Untersuchungen möchte ich heute teils etwas modifizieren, teils
erweitern, wobei sich wiederum die Doppelsummenmethode be-
währt (vgl. a. a. 0., sowie Math. Zeitschr. 32, 1930, und 34, 1931).
Die reellen Funktionen /(#, y) und g(#, y) der reellen Variabein
rr, y werden dabei in einem Gebiet G, dem das Rechteck R mit Ein-
schluß seines Randes angehört, bei Aufsuchung der notwendigen
Bedingungen nur als stetig in jeder der beiden Variabein
bei jedem Wert der andern, beim Beweis, daß diese Bedin-
gungen auch hinreichend sind, sogar nur als integrabel in jeder
der Variabein vorausgesetzt, Voraussetzungen, die also natürlich
erfüllt sind, wenn man von einer stetigen komplexen Funktion
einer komplexen Variabein z herkommt.
I. Die Bedingungen a) und b).
Gilt der Cauchysche Integralsatz
(1) J[/(U + g(£, y)dy] == 0
[R]
für jedes achsenparallele Rechteck R [(aa)(6/?)], das ganz dem
Gebiet G angehört, so ist also
b ß a a
(2) f f(x, oc)dx + f g(b, y)dy + f f(x, ß}dx + f g(a, y)dy = 0
a <x b ß
oder nach dem Satz vom Mittelwert der Integrandenfunktion
(3) - a) + g(b,yß)(ß - oc)
~ ftfß, ß) (b — a) — g(a, ya) (ß - <%) = 0,