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https://doi.org/10.11588/diglit.43641#0004
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Lothar Heffter:
wo in dem ^-Intervall (a, b), ya, r)b in dem y-Intervall (oc, ß)
vorhandene Werte sind. Also ist
(4) ~ f^ß’ ß) = Va) - g(J>, 7jb)
oc — ß a — b
D. h. a) Auf dem Rande jedes Rechtecks R existieren
vier Punkte, auf jeder Seite einer, für die die Gleich-
heit der Differenzenquotienten (4) besteht.
Sind ferner [(aoc)(bß)] und [(boc.)(cß)] zwei Rechtecke, die
beide noch ganz zum Gebiet G gehören und eine zur ^-Achse par-
allele Seite gemein haben, so folgt aus der Redeutung der Zwischen-
werte £ und r] nach (3) und der entsprechenden Gleichung für das
benachbarte Rechteck, daß
b) die beiden auf der gemeinsamen Seite liegenden
Punkte miteinander identisch sind oder so gewählt werden
können.
Diese beiden, aus dem Cauchyschen Satz gefolgerten, also
notwendigen Bedingungen a) und b) sind aber auch hinreichend
für ihn, wobei f und g nur integrabel in jeder der beiden Variabein
bei jedem Wert der andern zu sein brauchen.
Zum Beweis zerlegen wir die Seite b — a des Rechtecks R
durch die Teilpunkte x0 = a, xx, x2, . . ., xn = b und ebenso die
Seite ß — oc durch die Teilpunkte y0 B a, y2, . . .,yn = ß in
n gleiche Teile, ziehen durch die Teilpunkte Parallele zur y-, bzw.
rc-Achse und haben so das Rechteck R in ri2 kongruente kleinere
Rechtecke zerlegt. Nach Voraussetzung a) gibt es auf den Seiten
des Rechtecks [(x^yß) (^+1 yv+1)j vier Punkte
Vvl Vv + 15 A“’ Xfl+1> Vfi+l,V>
für die die der Gleichung (4) entsprechende Gleichung erfüllt ist.
Nach Voraussetzung b) tritt jeder der vier Punkte auch in dem
Nachbarrechteck auf, was durch die Bezeichnung ihrer Koordinaten
schon ausgedrückt ist. Daher ist die Doppelsumme
(ß) yßi ~~ /(£>-+i’ yv+i)] (^+1 — xiß
- [g(^> J - gGwi, J] (y,+i - yJ -
(H, v— 0,1,2, ..., n — 1)
weil jedes einzelne Glied der Summe = 0 ist. — Andererseits heben
sich in der Summe alle auf die inneren Gitterlinien bezüglichen
Glieder fort, und es ist
Lothar Heffter:
wo in dem ^-Intervall (a, b), ya, r)b in dem y-Intervall (oc, ß)
vorhandene Werte sind. Also ist
(4) ~ f^ß’ ß) = Va) - g(J>, 7jb)
oc — ß a — b
D. h. a) Auf dem Rande jedes Rechtecks R existieren
vier Punkte, auf jeder Seite einer, für die die Gleich-
heit der Differenzenquotienten (4) besteht.
Sind ferner [(aoc)(bß)] und [(boc.)(cß)] zwei Rechtecke, die
beide noch ganz zum Gebiet G gehören und eine zur ^-Achse par-
allele Seite gemein haben, so folgt aus der Redeutung der Zwischen-
werte £ und r] nach (3) und der entsprechenden Gleichung für das
benachbarte Rechteck, daß
b) die beiden auf der gemeinsamen Seite liegenden
Punkte miteinander identisch sind oder so gewählt werden
können.
Diese beiden, aus dem Cauchyschen Satz gefolgerten, also
notwendigen Bedingungen a) und b) sind aber auch hinreichend
für ihn, wobei f und g nur integrabel in jeder der beiden Variabein
bei jedem Wert der andern zu sein brauchen.
Zum Beweis zerlegen wir die Seite b — a des Rechtecks R
durch die Teilpunkte x0 = a, xx, x2, . . ., xn = b und ebenso die
Seite ß — oc durch die Teilpunkte y0 B a, y2, . . .,yn = ß in
n gleiche Teile, ziehen durch die Teilpunkte Parallele zur y-, bzw.
rc-Achse und haben so das Rechteck R in ri2 kongruente kleinere
Rechtecke zerlegt. Nach Voraussetzung a) gibt es auf den Seiten
des Rechtecks [(x^yß) (^+1 yv+1)j vier Punkte
Vvl Vv + 15 A“’ Xfl+1> Vfi+l,V>
für die die der Gleichung (4) entsprechende Gleichung erfüllt ist.
Nach Voraussetzung b) tritt jeder der vier Punkte auch in dem
Nachbarrechteck auf, was durch die Bezeichnung ihrer Koordinaten
schon ausgedrückt ist. Daher ist die Doppelsumme
(ß) yßi ~~ /(£>-+i’ yv+i)] (^+1 — xiß
- [g(^> J - gGwi, J] (y,+i - yJ -
(H, v— 0,1,2, ..., n — 1)
weil jedes einzelne Glied der Summe = 0 ist. — Andererseits heben
sich in der Summe alle auf die inneren Gitterlinien bezüglichen
Glieder fort, und es ist