Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Notwendige und hinreichende Bedingungen für den Cauchyschen Integralsatz. 5

<6) 2X1= A’im,«.«) -/««,»>/üm+i
fJ., V V
- 2 feG, ^o, J - (yv+i - y»} =
V
und daher auch
(7) lim y = f f/(x, y)dx + g(x, y)dy] = 0.
n—>co p., v [-R]
Die Voraussetzungen a) und b) sind also zusammen notwendig
und hinreichend für den Cauchyschen Integralsatz.
II. Die Bedingungen c) und d).
Geht man wieder von der Gültigkeit des Cauchyschen Satzes,
also von den Gleichungen (1) und (2) aus, so kann man — wie es
schon Gött. Nachr. 1902 S. 131 f. geschehen ist — in (2) zunächst
die beiden rr-Integrale zusammenfassen, ebenso die beiden y-Inte-
grale, und dann erst den Mittelwertsatz anwenden, um die Gleichung
zu erhalten
(8) [/(£, a) - /(£, ß)](b -a) - [g(a, 77) - g(b, y)](ß - a) = 0,
wo £ ein im Intervall (a, &), y ein im Intervall (a, ß) vorhandener
Wert ist, oder
/g, y - /g, ß) _ y - g(j>, y)
( } oc — ß a — b '
D. h. c) In jedem Rechteck R existiert wenigstens ein
Punkt £, 77, für den die Gleichheit der Differenzen-
quotienten (9) gilt. Wir wollen einen solchen Punkt kurz einen
,,Nullpunkt des Rechtecks“ nennen.
Wieder ziehen wir noch eine weitere Folgerung aus der voraus-
gesetzten Gültigkeit des Cauchyschen Satzes für zwei Rechtecke
[(aoc)(bßy\ und f(öa)(cJd)], die eine zur y-Achse parallele Seite gemein
haben und sich zu dem Rechteck [(atx)(c/?)] zusammensetzen.
Bezeichnet man mit £x, £2, y2; y je einen Nullpunkt des ersten,
zweiten und zusammengesetzten Rechtecks, so ist infolge der Her-
kunft dieser drei Wertepaare aus den Integralen um die drei Recht-
ecke
(10) [g(a, y) - g(c, y)] = [g(a - yx) - g(b, yj]
+ [gG, y2) - gG, y2)l-
D. h. d) Die g-Differenz f ür den Nullpunkt des zusammen-
gesetzten Rechtecks ist gleich der Summe der g-Diffe-
renzen für die Nullpunkte der einzelnen Rechtecke.