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https://doi.org/10.11588/diglit.43641#0006
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Lothar Heffter:
Entsprechendes gilt für zwei Rechtecke, die eine zur ^-Achse
parallele Seite gemein haben. Natürlich ist dann die /-Differenz
des ganzen Rechtecks gleich der Summe der /-Differenzen der
einzelnen Rechtecke.
Auch die beiden nach Vorstehendem für den Cauchyschen
Integralsatz notwendigen Bedingungen c) und d) erweisen sich
als hinreichend 1), wobei / und g wieder nur integrabel in jeder
der beiden Variabein bei jedem Wert der andern zu sein brauchen.
Wir teilen das Rechteck R wie in I, bezeichnen einen Null-
punkt des Teilrechtecks [(^?/r)(^+1yF+1)] mit 77^ und bilden
die Doppelsumme aus lauter Summanden, deren Wert nach c)
gleich Null ist,
(11) 2 Vv) ~ yv+i)] (^+1 -
R,V R,V
- EsK, ’i/z,.)] (yv+i - yv) = ei¬
lst nun yv ein Nullpunkt des Rechtecks Rv = \.{ayv}(byv+1)'\,
so daß yv im Intervall (yv, yv+1) liegt, so folgt aus d)
(12) g(a, yv) - g(Z>, 77,,) [g(^, 77^) - g(^+1, 77^)],
also
(13) J[g(Mj ~g^,Vv)] = [g(^, -g(^+i, V)]-
” A1, P
Ist andererseits ein Nullpunkt des Rechtecks
R^= [(x^, a)(x^+1,/?)], so daß im Intervall (^, ^+1) liegt, so
ergibt sich entsprechend
<14) Aw«"- «) - ««*. /’)] =- /(L- ^+1)1-
/z zz,x
Multipliziert man aber (14) mit (^+i—^), (13) mit (i/p+i -Wv)
und subtrahiert die Gleichungen, so ist die rechte Seite nach (11)
Null, also auch
x) In den Gott. Nachr. 1902 S. 135 f., wo übrigens die Funktionen f(x, y)
und g{x, y) zweidimensional stetig in den Variabein x, y vorausgesetzt
waren, habe ich den Beweis, daß dann die jetzt mit c) bezeichnete Voraus-
setzung allein auch hinreichend sei, nur angedeutet. Indessen wäre, zu einer
genauen Durchführung des Beweises auf dem damals angedeuteten Wege
eine Abschätzung nötig, die noch eine weitere Voraussetzung erfordern dürfte.
Die Notwendigkeit solcher Abschätzung entfällt aber, wenn man zu c) noch
die Voraussetzung d) hinzunimmt und damit jetzt einen andern Weg wie
damals einschlägt.
Lothar Heffter:
Entsprechendes gilt für zwei Rechtecke, die eine zur ^-Achse
parallele Seite gemein haben. Natürlich ist dann die /-Differenz
des ganzen Rechtecks gleich der Summe der /-Differenzen der
einzelnen Rechtecke.
Auch die beiden nach Vorstehendem für den Cauchyschen
Integralsatz notwendigen Bedingungen c) und d) erweisen sich
als hinreichend 1), wobei / und g wieder nur integrabel in jeder
der beiden Variabein bei jedem Wert der andern zu sein brauchen.
Wir teilen das Rechteck R wie in I, bezeichnen einen Null-
punkt des Teilrechtecks [(^?/r)(^+1yF+1)] mit 77^ und bilden
die Doppelsumme aus lauter Summanden, deren Wert nach c)
gleich Null ist,
(11) 2 Vv) ~ yv+i)] (^+1 -
R,V R,V
- EsK, ’i/z,.)] (yv+i - yv) = ei¬
lst nun yv ein Nullpunkt des Rechtecks Rv = \.{ayv}(byv+1)'\,
so daß yv im Intervall (yv, yv+1) liegt, so folgt aus d)
(12) g(a, yv) - g(Z>, 77,,) [g(^, 77^) - g(^+1, 77^)],
also
(13) J[g(Mj ~g^,Vv)] = [g(^, -g(^+i, V)]-
” A1, P
Ist andererseits ein Nullpunkt des Rechtecks
R^= [(x^, a)(x^+1,/?)], so daß im Intervall (^, ^+1) liegt, so
ergibt sich entsprechend
<14) Aw«"- «) - ««*. /’)] =- /(L- ^+1)1-
/z zz,x
Multipliziert man aber (14) mit (^+i—^), (13) mit (i/p+i -Wv)
und subtrahiert die Gleichungen, so ist die rechte Seite nach (11)
Null, also auch
x) In den Gott. Nachr. 1902 S. 135 f., wo übrigens die Funktionen f(x, y)
und g{x, y) zweidimensional stetig in den Variabein x, y vorausgesetzt
waren, habe ich den Beweis, daß dann die jetzt mit c) bezeichnete Voraus-
setzung allein auch hinreichend sei, nur angedeutet. Indessen wäre, zu einer
genauen Durchführung des Beweises auf dem damals angedeuteten Wege
eine Abschätzung nötig, die noch eine weitere Voraussetzung erfordern dürfte.
Die Notwendigkeit solcher Abschätzung entfällt aber, wenn man zu c) noch
die Voraussetzung d) hinzunimmt und damit jetzt einen andern Weg wie
damals einschlägt.