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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0044
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gleichung mittels des Liebmannschen Verfahrens
so ist die Randwertaufgabe nur dann lösbar, wenn die Randwerte
so gewählt sind, daß das Gleichungssystem homogen wird; und
zwar existieren dann auch nicht identisch verschwindende Lösungen
«(x,z/). Wir nennen die N Nullstellen von D (2), die nach einem
bekannten Satz über die Lösungen der Säkulargleichung alle reell
und nach obigem alle positiv sind, die Eigenwerte, ihre Gesamt-
heit das Spektrum der Randwertaufgabe. Der oben ausgeschlossene
4
Wert >1 = -— kann sowohl Eigenwert sein als auch nicht; z. B. ist
er Eigenwert für den nur aus einem einzigen Punkt bestehenden
Bereich, dagegen nicht Eigenwert für den aus zwei Punkten be-
stehenden Bereich.
Allgemeiner wollen wir, sei nun 53* beschränkt oder nicht,
enthalte das Gleichungssystem also endlich viele oder unendlich
viele Gleichungen, jeden Wert für welchen die Differenzen-
gleichung
(5) ä w(x,z/) + 2w (x,z/)Ä0
eine nicht durchweg verschwindende Lösung mit den Randwerten
Null hat, einen Eigenwert der Randwertaufgabe nennen.
§3.
Das Liebmannsche Näherungsverfahren. Ansatz zum
Konvergenzbeweis.
1. Die Randwertaufgabe wollen wir jetzt mittels des von Herrn
Liebmann angegebenen Verfahrens schrittweiser Näherungen zu
lösen suchen. Wir gehen aus von einer Gitterfunktion u0 (x, y),
die in 53*-|-fE* definiert ist, und welche die gewünschten Rand-
werte hat; ihre Werte sind die sogenannten Rohwerte, von deren
geeigneter Wahl, wie wir noch sehen werden, die Raschheit der
Konvergenz des Näherungsverfahrens wesentlich abhängt. Dann
bilden wir der Reihe nach für « = 1,2,... die Funktionen
«*(x, y) auf 9^*,
4-A^ A->(M inSS*-
Wenn diese Funktionen gegen eine Grenzfunktion
u (x, y) — lim un (x, y)
n —> co
konvergieren, so hat diese Gitterfunktion u (x, y), wie aus (6) er-
sichtlich ist, die vorgeschriebenen Randwerte und befriedigt in 53*
(6) wn(x,z/) =
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gleichung mittels des Liebmannschen Verfahrens
so ist die Randwertaufgabe nur dann lösbar, wenn die Randwerte
so gewählt sind, daß das Gleichungssystem homogen wird; und
zwar existieren dann auch nicht identisch verschwindende Lösungen
«(x,z/). Wir nennen die N Nullstellen von D (2), die nach einem
bekannten Satz über die Lösungen der Säkulargleichung alle reell
und nach obigem alle positiv sind, die Eigenwerte, ihre Gesamt-
heit das Spektrum der Randwertaufgabe. Der oben ausgeschlossene
4
Wert >1 = -— kann sowohl Eigenwert sein als auch nicht; z. B. ist
er Eigenwert für den nur aus einem einzigen Punkt bestehenden
Bereich, dagegen nicht Eigenwert für den aus zwei Punkten be-
stehenden Bereich.
Allgemeiner wollen wir, sei nun 53* beschränkt oder nicht,
enthalte das Gleichungssystem also endlich viele oder unendlich
viele Gleichungen, jeden Wert für welchen die Differenzen-
gleichung
(5) ä w(x,z/) + 2w (x,z/)Ä0
eine nicht durchweg verschwindende Lösung mit den Randwerten
Null hat, einen Eigenwert der Randwertaufgabe nennen.
§3.
Das Liebmannsche Näherungsverfahren. Ansatz zum
Konvergenzbeweis.
1. Die Randwertaufgabe wollen wir jetzt mittels des von Herrn
Liebmann angegebenen Verfahrens schrittweiser Näherungen zu
lösen suchen. Wir gehen aus von einer Gitterfunktion u0 (x, y),
die in 53*-|-fE* definiert ist, und welche die gewünschten Rand-
werte hat; ihre Werte sind die sogenannten Rohwerte, von deren
geeigneter Wahl, wie wir noch sehen werden, die Raschheit der
Konvergenz des Näherungsverfahrens wesentlich abhängt. Dann
bilden wir der Reihe nach für « = 1,2,... die Funktionen
«*(x, y) auf 9^*,
4-A^ A->(M inSS*-
Wenn diese Funktionen gegen eine Grenzfunktion
u (x, y) — lim un (x, y)
n —> co
konvergieren, so hat diese Gitterfunktion u (x, y), wie aus (6) er-
sichtlich ist, die vorgeschriebenen Randwerte und befriedigt in 53*
(6) wn(x,z/) =
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