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https://doi.org/10.11588/diglit.43680#0045
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M. Müller : Behandlung einer partiellen Differenzen-
die Gleichung (4), also auch die Differenzengleichung (2); diese
Grenzfunktion löst also die Randwertaufgabe. Es sind daher jetzt
nur noch Bedingungen fiir2(x,z/) festzustellen, die für die Kon-
vergenz der Folge
uY (x,y), u.2 (x,y),...
hinreichend sind, und überdies über die Güte der Konvergenz
Aussagen zu machen.
2. Der lim un(x,y) existiert genau dann, wenn die Reihe
«o (•*- //) + [«i U,//) — w0 (*,//)] +.+ [Mn +1 (x,y) — nn (x, z/)J + . .
konvergiert. Setzt man
(7) un(x,y) = un + l(x,y) — un(x,y) (72=0,1,2,...),
oo
so handelt es sich darum, die Konvergenz der Reihe (x,z/)
i>=0
festzustellen; nach (6) und (7) genügen deren Glieder für n j> 1
der Rekursionsformel
(8)
Die Abweichung der /?-ten Näherungsfunktion von der genauen
Lösung der Randwertaufgabe ist
OO
(9) \u(x,y) — un (x,z/)|^ | z?,, (x,i/) •
v=n
3. Wir setzen voraus, daß
(10) fiVtUP 1-4—(x,^)| = d
existiert; bei beschränktem Bereich 25* ist dies immer der Fall;
man kann dann den fin sup durch das Max ersetzen. Ist weiterhin
u0(x,y) in 25* +9?* beschränkt, was insbesondere dann erreicht
werden kann, wenn die Randwerte zz*(x,z/) beschränkt sind, so
ist nach (6) und (10)
fin sup | «j (x, z/)| + Max j fin sup \u*(x, y) ,4 <5 fin sup u0(x,y) j>
9?* 23*+91*
also nach (7) auch
(11) fin sup I z?0 (x, z/) | = fin sup I zz1 (x, z/) — zz0 (x, z/) I = Mo
93*-|-9t* 4'>*-|-9i*
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M. Müller : Behandlung einer partiellen Differenzen-
die Gleichung (4), also auch die Differenzengleichung (2); diese
Grenzfunktion löst also die Randwertaufgabe. Es sind daher jetzt
nur noch Bedingungen fiir2(x,z/) festzustellen, die für die Kon-
vergenz der Folge
uY (x,y), u.2 (x,y),...
hinreichend sind, und überdies über die Güte der Konvergenz
Aussagen zu machen.
2. Der lim un(x,y) existiert genau dann, wenn die Reihe
«o (•*- //) + [«i U,//) — w0 (*,//)] +.+ [Mn +1 (x,y) — nn (x, z/)J + . .
konvergiert. Setzt man
(7) un(x,y) = un + l(x,y) — un(x,y) (72=0,1,2,...),
oo
so handelt es sich darum, die Konvergenz der Reihe (x,z/)
i>=0
festzustellen; nach (6) und (7) genügen deren Glieder für n j> 1
der Rekursionsformel
(8)
Die Abweichung der /?-ten Näherungsfunktion von der genauen
Lösung der Randwertaufgabe ist
OO
(9) \u(x,y) — un (x,z/)|^ | z?,, (x,i/) •
v=n
3. Wir setzen voraus, daß
(10) fiVtUP 1-4—(x,^)| = d
existiert; bei beschränktem Bereich 25* ist dies immer der Fall;
man kann dann den fin sup durch das Max ersetzen. Ist weiterhin
u0(x,y) in 25* +9?* beschränkt, was insbesondere dann erreicht
werden kann, wenn die Randwerte zz*(x,z/) beschränkt sind, so
ist nach (6) und (10)
fin sup | «j (x, z/)| + Max j fin sup \u*(x, y) ,4 <5 fin sup u0(x,y) j>
9?* 23*+91*
also nach (7) auch
(11) fin sup I z?0 (x, z/) | = fin sup I zz1 (x, z/) — zz0 (x, z/) I = Mo
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