Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

einer partiellen Differenzengleichung

§4. Lösung der inhomogenen Gleichung.

Wir wenden uns jetzt zu der inhomogenen Gleichung
k f (4, ,u) = — 1, (w) -j- br f(A -|-1, -j- «,2 f (2, — 1) —j— ö2 / (2, 1 )-\-g (2, ,u)
(20) (A = l,2 p-l-, fl=l,2

wo g (4, (M.) gegeben ist. Dabei sei k kein Eigenwert. Es genügt,
die Gleichung (20) unter den Randbedingungen
(21) /(2, 0) = f(2, q) = 0 (2 = 1,2, ...,p — 1),
(22) f (0,,«) = f(p,,«) = 0 (,u = 1,2,. . . , q 1)

zu lösen. Denn für andere Randwerte ergibt sich dann die Lösung,
indem man die betreffende Lösung der homogenen Gleichung
hinzuaddiert.

Um die Lösung zu finden, setzen wir


((> = 1,2,... ,p 1; <r= 1,2,..., c/ —1),

wobei die Größen Clm noch geeignet gewählt werden sollen. Jeden-
falls ist

Berechnen wir jetzt den Ausdruck

q

q

1=1 m =1

Wählt man

wobei ja der Nenner, weil k kein Eigenwert ist, nicht verschwindet,


k — 2 j/tzi cos——2 )/ a2 b9 cos —
P ~ - q

so ergibt sich:
p-l q 1

-2 — q

daher für Clm die Größe
1

Xln . qItc . m tc . Gllln
sin - - sm — sm — - sm -
P P

(27) C[m

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