Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

der Flächentheorie aus einer algebraischen Identität

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Xt

2.
Erste Anwendung:
Begründung der Ableitungsformeln von Gauss.
Setzt man
Cl^ = Xuu, Cl-2 - Ijlllli = Zull, = 1, Ög == 0, ^3 == 0,
so folgt aus (**):
S Xuu (//» Zv l]u Zu) Uu Zu IJu Zu
^\7eG — F2 ’ V EG —F2

Führt man die Richtungskosinus X, Y, Z der Flächennor-
malen; die Fundamentalgrößen L, M, N und die Christoffel-Sym-
bole ein, so ergibt sich
= 1111 | - Xu | | • xv -j- L • X.
Ebenso findet man:
Xuu = | 1 | ■ xu | |' Xu ~I- M
Xuu = | 2^2 | • Xu + | 2^2 | • Xu^N-X.
Dies sind drei der Ableitungsformeln von Gauss 2). Gleichartige
Formeln gelten für z/„„, yul„ yvv, zim, zuv, zvv; sie brauchen nicht
besonders angegeben zu werden.
Die neu gewonnenen Formeln gestatten verschiedene Folge-
rungen, zunächst die besonders einfache Ableitung der Mainardi-
CoDAZZi’schen Formeln, wie sie A. Voss (Sitzungsber. d. Bayer.
Akad. d. Wiss. 1892) gegeben hat. Ferner kann man Formeln
folgender Art ableiten:
--HVH’.V+l'.'lUk HVIIW
I (i il
usw.
2) Vgl. Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie I, J. Springer,
Berlin 1921, S. 78.