Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Zur Geometrie der konformen Abbildungen.

Von
R. Mehmke in Stuttgart.

1. Ist u eine analytische Funktion der Koordinaten x, y eines
beweglichen Punktes in der Ebene, dann sollen im folgenden die
von irgendeiner Stelle ausgehenden n Richtungen, in denen ge-
nommen die zz-te Ableitung von u verschwindet, die zu dieser
Stelle gehörigen Nullrichtungen n-ter Ordnung von u genannt
werden. Ferner mag eine Kurve, bei der jede Tangente eine der
Nullrichtungen zz-ter Ordnung hat, die ihrem Berührungspunkt
zukommen, eine Nullkurve n-ter Art heißen.
2. Liegt nun eine durch
u iv = f (x iy)
gegebene konforme Abbildung vor, so ist zwar der geometrische
Sinn der CAUCHY-RiEMANNschen Gleichungen längst bekannt, aber
für die LAPLACEsche Differentialgleichung, der u sowohl wie v
genügen muß, scheint keine geometrische Deutung in der Literatur
vorzukommen. Eine solche ist jedoch leicht anzugeben. Entspricht
nämlich dyjdx^tgcp einer Nullrichtung zweiter Ordnung, so hat
man für tg cp die quadratische Gleichung

(1)

dhi d2u
dx2 dx dy

tg CP +


deren Wurzeln reell sind, weil wegen

d2u Nu
dy2 gjc2

d2u d2u _/ d2u \
dx2 ' dy2 \ dx dy)

ihre Diskriminante