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https://doi.org/10.11588/diglit.43726#0007
perspektiv liegenden Tangenten- und Sehnendreiecken
7
\U A" Vj X \A'P'A\
ergibt sich zunächst, daß P' die Strecke UV auf t(Pj halbiert,
woraus dann wegen
(U P' V) X (A Mo A')
und t(P) || (AAj
ebenfalls folgt, daß Mo AA' halbiert. Dasselbe gilt auch von P
bezüglich U' V'.
Da nach 3. der Punkt A" = £ (A) X (A') für alle zu QQ' paral-
lelen Sehnen AA' auf (PPZ) — außerhalb (5* — bleibt, so wer-
den alle diese Sehnen durch PP' halbiert. Dasselbe gilt für alle
Paare konjugierter Durchmesser und die zu ihnen parallelen
Sehnen. Die Durchmesser sind als Halbierungslinien paralleler
Sehnen die „Schwerlinien“ der Eilinie (£*, die also alle gerad-
linig sind. Demnach gilt für (£*:
Jede Schar paralleler Sehnen wird durch den zu ihrer Rich-
tung konjugierten Durchmesser halbiert. Die Schwerlinien von
(£* sind Geraden.
*
5. Als Eilinie mit geraden Schwerlinien ist G* notwendig ein
Kegelschnitt3).
Für den Beweis in § 7 des in der Fußnote genannten Lehr-
buches folgt die Existenz von /c(s) und k' (s) längs (5* aus einer
Grenzbetrachtung, die hier angedeutet werden möge: Wegen (*)
ist drei beliebigen Punkten von (5* und ihren Tangenten-
richtungen jeweils ein Kegelschnitt zugeordnet, der sie enthält
und dort dieselben Tangenten besitzt, also mindestens sechs
Punkte (drei Doppelpunkte) mit (S* gemeinsam hat. Lassen wir
alsdann die drei Tangenten zusammenrücken, so wird der so
zugeordnete Kegelschnitt dort mindestens sechspunktig, also in
höherer als vierter Ordnung berühren: Der Punkt ist „sextakti-
scher Punkt“. Da so jeder Punkt von (5* zum „Grenzpunkt“ ge-
macht werden kann, gilt für (5* die Aussage: Die Eilinie (5*
besteht aus lauter sextaktischen Punkten. Daraus aber folgt, da ein
sextaktischer Punkt durch k' (s) = 0 charakterisiert ist4), daß längs
3) W. Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie II, 7 und 9.
Berlin 1923.
4) W. Blaschke, a. a. 0. § 11.
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\U A" Vj X \A'P'A\
ergibt sich zunächst, daß P' die Strecke UV auf t(Pj halbiert,
woraus dann wegen
(U P' V) X (A Mo A')
und t(P) || (AAj
ebenfalls folgt, daß Mo AA' halbiert. Dasselbe gilt auch von P
bezüglich U' V'.
Da nach 3. der Punkt A" = £ (A) X (A') für alle zu QQ' paral-
lelen Sehnen AA' auf (PPZ) — außerhalb (5* — bleibt, so wer-
den alle diese Sehnen durch PP' halbiert. Dasselbe gilt für alle
Paare konjugierter Durchmesser und die zu ihnen parallelen
Sehnen. Die Durchmesser sind als Halbierungslinien paralleler
Sehnen die „Schwerlinien“ der Eilinie (£*, die also alle gerad-
linig sind. Demnach gilt für (£*:
Jede Schar paralleler Sehnen wird durch den zu ihrer Rich-
tung konjugierten Durchmesser halbiert. Die Schwerlinien von
(£* sind Geraden.
*
5. Als Eilinie mit geraden Schwerlinien ist G* notwendig ein
Kegelschnitt3).
Für den Beweis in § 7 des in der Fußnote genannten Lehr-
buches folgt die Existenz von /c(s) und k' (s) längs (5* aus einer
Grenzbetrachtung, die hier angedeutet werden möge: Wegen (*)
ist drei beliebigen Punkten von (5* und ihren Tangenten-
richtungen jeweils ein Kegelschnitt zugeordnet, der sie enthält
und dort dieselben Tangenten besitzt, also mindestens sechs
Punkte (drei Doppelpunkte) mit (S* gemeinsam hat. Lassen wir
alsdann die drei Tangenten zusammenrücken, so wird der so
zugeordnete Kegelschnitt dort mindestens sechspunktig, also in
höherer als vierter Ordnung berühren: Der Punkt ist „sextakti-
scher Punkt“. Da so jeder Punkt von (5* zum „Grenzpunkt“ ge-
macht werden kann, gilt für (5* die Aussage: Die Eilinie (5*
besteht aus lauter sextaktischen Punkten. Daraus aber folgt, da ein
sextaktischer Punkt durch k' (s) = 0 charakterisiert ist4), daß längs
3) W. Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie II, 7 und 9.
Berlin 1923.
4) W. Blaschke, a. a. 0. § 11.