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https://doi.org/10.11588/diglit.43734#0004
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L. Stickelberger:
Dedekind und Hurwitz wiedergefunden und der Theorie der
Ideale zu Grunde gelegt haben, der Beweis kurz und durchsichtig
geführt werden kann.
Dem Kronecker sehen Satz gebe ich die folgende etwas er-
weiterte Fassung:
Sind fr, f2, ...., fs irgendwelche Polgnome in xr, ...., xm
und ist F ihr Produkt, so ist jedes Produkt von je einem Koeffi-
zienten der Faktoren fi und jede Summe solcher Produkte eine
ganz algebraische Funktion der Koeffizienten von F, d. h. Wurzel
einer Gleichung, in der der Koeffizient der höchsten Potenz der
„Unbekannten1' gleich Eins, die folgenden Koeffizienten ganze
rationale und ganzzahlige Funktionen der Koeffizienten von F
sind.
Man kann hinzufilgen, daß diese Koeffizienten der Reihe nach
von den Dimensionen 1,2,3,.... in den Koeffizienten von F sind.
Man denke sich zunächst
A (P1 4“ ‘ ‘ ‘ M rpr
irgenwie in Polynome niedrigerer Dimension ft, f2, ..., fs zer-
legt; unter diesen kann nach Annahme kein von den E unabhängiges
vorkommen. Die nichtkonstanten Faktoren wähle man so, daß
überall der Koeffizient des höchsten Gliedes, d. h. desjenigen,
das die höchste Potenz von , daneben die höchste Potenz von
x2, u. s. w. enthält, den Wert Eins hat. Das höchste Glied des
Produktes ist gleich dem Produkt der höchsten Glieder seiner
Faktoren, hat also gleichfalls den Koeffizienten Eins. Somit muß
(1) A f/h 4“ ‘ ‘ ‘ “4 (Pr = • f-2 • • • ■ fs
sein, wobei
(2) A — cir A -j- ■ ■ ■ • ar Ar
eine lineare Funktion der A mit konstanten Koeffizienten ist.
Der Satz von Kronecker besagt nun, daß jedes Produkt aus
je einem Koeffizienten der s Funktionen ft, also auch, da je einer
dieser Koeffizienten gleich 1 ist, jeder einzelne Koeffizient und
jedes Produkt aus Koeffizienten verschiedener Faktoren, nach
Multiplikation mit A eine ganze algebraische Funktion der A ist.
Damit ist die Grundlage für den neuen Beweis gegeben.
Nunmehr sei f ein unzerlegbarer Faktor der angegebenen
Form. Nach dem eben Bemerkten sind die Koeffizienten alge-
braische Funktionen der A, nach dem Vorgang von Abel kann
L. Stickelberger:
Dedekind und Hurwitz wiedergefunden und der Theorie der
Ideale zu Grunde gelegt haben, der Beweis kurz und durchsichtig
geführt werden kann.
Dem Kronecker sehen Satz gebe ich die folgende etwas er-
weiterte Fassung:
Sind fr, f2, ...., fs irgendwelche Polgnome in xr, ...., xm
und ist F ihr Produkt, so ist jedes Produkt von je einem Koeffi-
zienten der Faktoren fi und jede Summe solcher Produkte eine
ganz algebraische Funktion der Koeffizienten von F, d. h. Wurzel
einer Gleichung, in der der Koeffizient der höchsten Potenz der
„Unbekannten1' gleich Eins, die folgenden Koeffizienten ganze
rationale und ganzzahlige Funktionen der Koeffizienten von F
sind.
Man kann hinzufilgen, daß diese Koeffizienten der Reihe nach
von den Dimensionen 1,2,3,.... in den Koeffizienten von F sind.
Man denke sich zunächst
A (P1 4“ ‘ ‘ ‘ M rpr
irgenwie in Polynome niedrigerer Dimension ft, f2, ..., fs zer-
legt; unter diesen kann nach Annahme kein von den E unabhängiges
vorkommen. Die nichtkonstanten Faktoren wähle man so, daß
überall der Koeffizient des höchsten Gliedes, d. h. desjenigen,
das die höchste Potenz von , daneben die höchste Potenz von
x2, u. s. w. enthält, den Wert Eins hat. Das höchste Glied des
Produktes ist gleich dem Produkt der höchsten Glieder seiner
Faktoren, hat also gleichfalls den Koeffizienten Eins. Somit muß
(1) A f/h 4“ ‘ ‘ ‘ “4 (Pr = • f-2 • • • ■ fs
sein, wobei
(2) A — cir A -j- ■ ■ ■ • ar Ar
eine lineare Funktion der A mit konstanten Koeffizienten ist.
Der Satz von Kronecker besagt nun, daß jedes Produkt aus
je einem Koeffizienten der s Funktionen ft, also auch, da je einer
dieser Koeffizienten gleich 1 ist, jeder einzelne Koeffizient und
jedes Produkt aus Koeffizienten verschiedener Faktoren, nach
Multiplikation mit A eine ganze algebraische Funktion der A ist.
Damit ist die Grundlage für den neuen Beweis gegeben.
Nunmehr sei f ein unzerlegbarer Faktor der angegebenen
Form. Nach dem eben Bemerkten sind die Koeffizienten alge-
braische Funktionen der A, nach dem Vorgang von Abel kann