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https://doi.org/10.11588/diglit.43741#0004
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E. Salkowski: Die Petersonschen Flächen
schneidet daher auch die Erzeugenden des zugehörigen Berüh-
rungskegels senkrecht, ist also eine Kurve auf einer Kugel, deren
Mittelpunkt in die Spitze des Berührungskegels fällt. Die Kugel
geht in eine Ebene über, wenn die Spitze des Kegels ins Unend-
liche rückt. Da die Tangenten einer solchen Kurve auf den Er-
zeugenden des Zylinders senkrecht stehen müssen, enthält die
Ebene der Kurve auch . die Normale der Fläche, d. h. die Kurve
ist nicht nur Krümmungslinie, sondern auch Geodätische der Fläche.
Aus diesen einfachen Bemerkungen ergeben sich schon fol-
gende für die erste Orientierung nützlichen Tatsachen:
I. Auf Petersonschen Flächen, für die die konischen Kurven
Krümmungslinien sind, werden diese durch zwei Scharen von
Kugeln herausgeschnitten, die die Fläche und einander überall
senkrecht schneiden.
II. Zylindrokonische Flächen, auf denen das Petersonsche
Netz aus Krümmungslinien besteht, gehören zu den Mong eschen
Gesimsflächen, denn nur auf diesen gibt es eine Schar von ebenen
Krümmungslinien, deren Ebenen die Flächen senkrecht schneiden.
III. Die einzigen Schiebungsflächen, auf denen die Schub-
kurven Krümmungslinien sind, sind die Zylinder und Ebenen.
Wir beschließen die erste Umschau mit einer einfachen, aber für
die Aufgabe wichtigen Bemerkung. Da bei Inversionen Krüm-
mungslinien wieder in Krümmungslinien übergehen, Kugelkurven
in Kugelkurven, so wird jede Fläche der gesuchten Art durch
eine Inversion wieder in eine solche übergehen. Diese Bemerkung
legt es nahe, die ganze Aufgabe als eine solche der Kugelgeo-
metrie zu behandeln. In der Tat läßt sie sich von dieser Seite
aus am schnellsten erledigen, doch will ich darauf erst am Schluß
eingehen; für den anschaulich arbeitenden Geometer hat es ge-
rade seinen besonderen Reiz, sie ohne dieses Hilfsmittel, das der
Anschauung nicht ganz leicht zugänglich ist, zu behandeln.
Zylindrokonische Flächen, deren Petersonsches Netz
aus Krümmungslinien besteht.
Zunächst sei der Sonderfall der zylindrokonischen Flächen ins
Auge gefaßt.
Bei diesen liegt die eine Schar von Netzkurven nicht auf
Kugeln, sondern in Ebenen, die zweite Schar durchsetzt diese
E. Salkowski: Die Petersonschen Flächen
schneidet daher auch die Erzeugenden des zugehörigen Berüh-
rungskegels senkrecht, ist also eine Kurve auf einer Kugel, deren
Mittelpunkt in die Spitze des Berührungskegels fällt. Die Kugel
geht in eine Ebene über, wenn die Spitze des Kegels ins Unend-
liche rückt. Da die Tangenten einer solchen Kurve auf den Er-
zeugenden des Zylinders senkrecht stehen müssen, enthält die
Ebene der Kurve auch . die Normale der Fläche, d. h. die Kurve
ist nicht nur Krümmungslinie, sondern auch Geodätische der Fläche.
Aus diesen einfachen Bemerkungen ergeben sich schon fol-
gende für die erste Orientierung nützlichen Tatsachen:
I. Auf Petersonschen Flächen, für die die konischen Kurven
Krümmungslinien sind, werden diese durch zwei Scharen von
Kugeln herausgeschnitten, die die Fläche und einander überall
senkrecht schneiden.
II. Zylindrokonische Flächen, auf denen das Petersonsche
Netz aus Krümmungslinien besteht, gehören zu den Mong eschen
Gesimsflächen, denn nur auf diesen gibt es eine Schar von ebenen
Krümmungslinien, deren Ebenen die Flächen senkrecht schneiden.
III. Die einzigen Schiebungsflächen, auf denen die Schub-
kurven Krümmungslinien sind, sind die Zylinder und Ebenen.
Wir beschließen die erste Umschau mit einer einfachen, aber für
die Aufgabe wichtigen Bemerkung. Da bei Inversionen Krüm-
mungslinien wieder in Krümmungslinien übergehen, Kugelkurven
in Kugelkurven, so wird jede Fläche der gesuchten Art durch
eine Inversion wieder in eine solche übergehen. Diese Bemerkung
legt es nahe, die ganze Aufgabe als eine solche der Kugelgeo-
metrie zu behandeln. In der Tat läßt sie sich von dieser Seite
aus am schnellsten erledigen, doch will ich darauf erst am Schluß
eingehen; für den anschaulich arbeitenden Geometer hat es ge-
rade seinen besonderen Reiz, sie ohne dieses Hilfsmittel, das der
Anschauung nicht ganz leicht zugänglich ist, zu behandeln.
Zylindrokonische Flächen, deren Petersonsches Netz
aus Krümmungslinien besteht.
Zunächst sei der Sonderfall der zylindrokonischen Flächen ins
Auge gefaßt.
Bei diesen liegt die eine Schar von Netzkurven nicht auf
Kugeln, sondern in Ebenen, die zweite Schar durchsetzt diese