Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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E. SalkowSKI: Die Petersonschen Flächen

Allgemein folgt aus (3):
(4) u' ß" = 0
Der geometrische Ort der Spitzen der Berührungskegel längs der
Kurven v = konst. ergibt sich aus
V — X 4~ 07
für t = — v , hat also die Gleichung
(5) ß = ü — v ß',
so daß
tf = — U u"
ist. Daraus folgt, daß für ß" = 0 alle Spitzen zusammenfallen,
d. h. auch für diesen Fall die gesuchte Fläche ein Kegel wird.
Ist aber ß" 0, so kann man zu (4) noch die Gleichung
(6) u' ß= 0
hinzunehmen. Das besagt, daß, wenn ß'" nicht zu ß" parallel ist,
der Vektor
u' = O[ß"ß'"]
wird und sowohl auf ß" als auch auf ß'" senkrecht stehen muß.
Da er von v unabhängig ist, muß
(7) [V'ß"'] = (X
ein konstanter Vektor sein; es wird daher
u = U (X + b,
somit wegen (4)
a ß" = 0,
d. h. die Tangenten der Kurven der Kegelspitzen ß liegen in
einer zum Vektor a senkrechten Ebene. Durch zweckmäßige Wahl
des Koordinatensystems kann man den Vektor u in die e3-Achse
legen, so daß
u=77e3
angenommen werden kann. Damit aber wird
ß" = Vt" ei + K" e2,
also
ß = 4g 4 4 g 4 (g p 4” g) g >
eine Gleichung, in der c2 = 0 gesetzt werden kann, da dieser
Annahme nur einer Verschiebung des Koordinatensystems in der
Richtung e3 entspricht.