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https://doi.org/10.11588/diglit.43745#0004
4 M. Müller: RiEMANN’sches Integral
Verfeinerung der Zerlegung 3 diese Summe gegen das Integral
b
(2) J ]/(x' (0)2 + (y (O)2 + (*' (0)2 dt >
a
die Bogenlänge des Raumkurvenstückes, strebt. Dieser Nachweis
erfordert eine besondere Überlegung, da die Summe (1) nicht
eine RiEMANN’sche Summe des Integrales (2) ist, sondern zu einer
solchen erst in Beziehung gesetzt werden muß.
Ähnliche Betrachtungen werden auch bei manchen anderen
Aufgaben der Integralrechnung und ihrer Anwendungen erforder-
lich und mutatis mutandis stets von neuem durchgeführt. Man
kann aber diese Überlegungen durch die Aufstellung und den
Beweis eines allgemeinen Satzes über die Annäherung des
RiEMANN’schen Integrales zusammengesetzter Funktionen mittels
verallgemeinerter RiEMANN’scher Summen in einheitlicher Weise
erledigen. Indem man so das RiEMANN’sche Integral zusammen-
gesetzter Funktionen in der Form bereit stellt, wie es bei den
Anwendungen tatsächlich gebraucht wird, werden die Anwen-
dungen durchsichtiger und formal einfacher.
Ein solcher Satz soll hier aufgestellt und bewiesen und seine
Nützlichkeit an Beispielen erläutert werden. Wie ich nachträglich
bemerkte, ist der Satz nicht durchweg neu. Für den Fall einer
unabhängigen Veränderlichen findet er sich teilweise in einer
Note von P. du Bois-Reymond ; unter engeren Voraussetzungen
hat ihn kürzlich Herr H. Wendelin veröffentlicht; genauere An-
gaben hierüber werden unten gemacht, nachdem der Satz formu-
liert ist. Mir ist aber nicht bekannt, daß der Satz in vollem Um-
fang in der Literatur vorkommt und daß auf seine umfassende
Anwendbarkeit schon hingewiesen wurde. Um den einfachen
Grundgedanken klar hervortreten zu lassen, verzichte ich darauf,
die Voraussetzungen so allgemein wie möglich zu wählen; trotz-
dem läßt sich bei den Anwendungen, die sonst durchaus als
bekannt gelten können, manche Formel ohne Mühe unter allge-
meineren Bedingungen beweisen, als dies in der Lehrbuchliteratur
zu geschehen pflegt.
Durchweg ist in der Arbeit nur vom eigentlichen Riemann-
schen Integral die Rede, mithin auch die Beschränktheit der Inte-
granden vorausgesetzt; es kann davon abgesehen werden, dies
immer wieder besonders hervorzuheben.
Verfeinerung der Zerlegung 3 diese Summe gegen das Integral
b
(2) J ]/(x' (0)2 + (y (O)2 + (*' (0)2 dt >
a
die Bogenlänge des Raumkurvenstückes, strebt. Dieser Nachweis
erfordert eine besondere Überlegung, da die Summe (1) nicht
eine RiEMANN’sche Summe des Integrales (2) ist, sondern zu einer
solchen erst in Beziehung gesetzt werden muß.
Ähnliche Betrachtungen werden auch bei manchen anderen
Aufgaben der Integralrechnung und ihrer Anwendungen erforder-
lich und mutatis mutandis stets von neuem durchgeführt. Man
kann aber diese Überlegungen durch die Aufstellung und den
Beweis eines allgemeinen Satzes über die Annäherung des
RiEMANN’schen Integrales zusammengesetzter Funktionen mittels
verallgemeinerter RiEMANN’scher Summen in einheitlicher Weise
erledigen. Indem man so das RiEMANN’sche Integral zusammen-
gesetzter Funktionen in der Form bereit stellt, wie es bei den
Anwendungen tatsächlich gebraucht wird, werden die Anwen-
dungen durchsichtiger und formal einfacher.
Ein solcher Satz soll hier aufgestellt und bewiesen und seine
Nützlichkeit an Beispielen erläutert werden. Wie ich nachträglich
bemerkte, ist der Satz nicht durchweg neu. Für den Fall einer
unabhängigen Veränderlichen findet er sich teilweise in einer
Note von P. du Bois-Reymond ; unter engeren Voraussetzungen
hat ihn kürzlich Herr H. Wendelin veröffentlicht; genauere An-
gaben hierüber werden unten gemacht, nachdem der Satz formu-
liert ist. Mir ist aber nicht bekannt, daß der Satz in vollem Um-
fang in der Literatur vorkommt und daß auf seine umfassende
Anwendbarkeit schon hingewiesen wurde. Um den einfachen
Grundgedanken klar hervortreten zu lassen, verzichte ich darauf,
die Voraussetzungen so allgemein wie möglich zu wählen; trotz-
dem läßt sich bei den Anwendungen, die sonst durchaus als
bekannt gelten können, manche Formel ohne Mühe unter allge-
meineren Bedingungen beweisen, als dies in der Lehrbuchliteratur
zu geschehen pflegt.
Durchweg ist in der Arbeit nur vom eigentlichen Riemann-
schen Integral die Rede, mithin auch die Beschränktheit der Inte-
granden vorausgesetzt; es kann davon abgesehen werden, dies
immer wieder besonders hervorzuheben.