Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen

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KAPITEL I.
Aufstellung und Beweis des Satzes.
§ 1. Der Fall einer unabhängigen Veränderlichen.
Satz 1. Die Funktion f (xr, x2,..., xn) sei in einem Bereich
95 des n-dimensionalen (x1( x2, ..., xn)~Raumes beschränkt und
gleichmäßig stetig. In 95 sollen die Werte-n-tupel liegen, die das
Funktionensystem xx(f), ..., xn (f) in einem Intervall ci t b
annimmt. Die Funktionen xv(t) seien im Intervall ja. b) inte-
grierbar. Dann ist auch die Funktion F (t) = f (xt (t), ..., xn(f))
im Intervall ja, b} integrierbar.
Es sei insbesondere 95 der Quader O mit den Kanten
fin inf xv (t) xv <i fin sup xP (f) (v = 1, 2, ..., n),
a<,t<g> a^t<,b
ferner
3: a = t0 < tr < • • • < tQ < to+i < • • • < tr = b
eine Zerlegung des Intervalles fa, b),
Max (A+i — tß) = d (3).
C> = 0, r— 1
Werden bei jeder solchen Zerlegung 3 dze Stellen tvq für
= 0, 1,.., r— 1, v = 1, 2, n irgendwie im Intervall (tQ, tQ+Q
gewählt, so ist
b b
(3) I F(f)dt = j f(xY (t), x.2 (0, .... xn (0) clt
a a
r—1
= lim V /(Xx (r10) , X2 (r2o) , Xn QnQ) (t0+i — tQ .
zi(3)-o
Aus der letzten Summe wird eine RiEMANN’sche Summe im
üblichen Sinn, wenn speziell = t2q== ■ ■ ■ ■ = vnQ gesetzt wird;
Formel (3) geht dann in die bekannte Darstellung des Integrales
als Grenzwert RiEMANN’scher Summen über.
Den ersten, auf die Integrierbarkeit bezüglichen Teil des Satzes
veröffentlichte P. du Bois-Reymond 1880 2 3), seinen Beweis im
Jahre 1882 ')• Herr H. Wendelin1) hat dieses Ergebnis kürzlich
2) P. du Bois-Reymond. Ein allgemeiner Satz der Integrirbarkeitslehre.
Math. Annalen 16, 1880, S. 112.
3) P. du Bois-Reymond. Ein allgemeiner Satz über die Integrirbarkeit
von Functionen integrirbarer Funktionen. Sitzungsberichte der mathe-