Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen

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§ 2. Der Fall mehrerer unabhängigen Veränderlichen.

Satz 1 läßt sich auf Integrale mit mehrdimensionalem Inte-
grationsbereich folgendermaßen übertragen :
Satz 2: Die Funktion f(xr, x2, xn) sei in einem Bereich
93 des n-dimensionalen (jq, jc2, xß)-Raumes beschränkt lind
gleichmäßig stetig. In 95 sollen die Werte-n-tupel liegen, die das
Funktionensystem xl(t1, ..., tp), ..., xn(t1, ..., tp) in einem ab-
geschlossenen, meßbaren Bereich 93O des (tr, ..., tp)-Raumes an-
nimmt. Die Funktionen xv (tt, ..., tp) seien übet den Bereich 93O
eigentlich integrierbar. Dann ist auch die Funktion
F(tt,..., tp) = f(xl(tl,tp) ,x2(tx, ...,tp), ...,xn(tx,..., tp))
über 93O eigentlich integrierbar.
Es sei insbesondere 93 der Quader mit den Kanten
fin inf xv (tx, ..., tp) <1 xv <j fin sup x (tt, ..., tp)
9% 5Bo
(v= 1, 2, ..., n),
ferner
3 : = bt —b2 —• - - - —b7*

eine Zerlegung des Bereiches 93O in r meßbare Teilbereiche bö
(^ = 1, 2, ...,r), rfze beziehentlich den Inhalt io und den Durch-
messer d9 haben,
Max do = A (ß).
0 = 1, . . , 7’

Werden bei jeder solchen Zerlegung 3 die Stellen
(rS> rS> • • • > t{vq) für 2, ..., r, v = \ , 2. ..., n irgendwie im
Teilbereich be gewählt, so ist

I F(tx, ..., tp)dbQ= I f(xx(tx, ..., tp), x2(tx, ..., tp), ..., xn (tx, ..., tp)) db0
(«o) (58o)

= lim
zi(<3)—* o




Der Beweis dieses Satzes läuft dem Beweis des Satzes 1 voll-
ständig parallel; auf seine ausführliche Darstellung kann daher ver-
zichtet werden.
Für die Anwendungen ist im Falle eines mehrdimensionalen
Integrationsbereiches die Bemerkung wichtig, daß man bei jeder
Zerlegung 3 hi der letzten Summe auch Summanden weglassen