Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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M. Müller : RiEMANN’sches Integral

darf, wenn man es dabei nur so einrichtet, daß die Vereinigungs-
menge der unberücksichtigten unter den zur Zerlegung 3 gehörigen
Teilbereichen bx, ..., b,- einen Inhalt hat, der gegen Null strebt,
wenn 4 (3) -> 0. Wird nämlich die positive Zahl e irgendwie
vorgeschrieben, so gibt es dazu nach Satz 2 eine Zahl (e)
derart, daß

/ m, ■ ■
(«o)


falls J(3)<^(f) ist. f (...) ist hier und im Folgenden eine
Abkürzung für
/(jCt (z^ , . . . , z(ß) , . . . , Xn (^9 , . . . , z^) ) .

Bei jeder Zerlegung 3 bezeichne der Operator die Summation
0 = 1
über diejenigen der Teilbereiche bt, ..., br, die beibehalten
r
werden, der Operator die Summation über diejenigen Teil-
2 = 1
bereiche bt, ..., br, die weggelassen werden, sodaß in nahe-
liegender symbolischer Schreibweise die Beziehung

S = S' + S"
9 = 1 9 = 1 9 = 1

besteht. Nach Voraussetzung gibt es eine Zahl <52 (e), sodaß

£
2M
und damit
Sn...) i,- fis\= S"/(- ••) m
9 = 1 9 = 1 9 = 1 9— 1

S'T<

sobald A (3)<Me)- Wird die Zerlegung 3 so fein gewählt, daß
4 (3) < Min ! (3 > ^2 (£) i ’ so ’st also
r
I / Gi > • • • ’ ^p) ^0 zL /(•••) Ä j
9 = 1


r /• 7-
tP) £/(...) d + £/(•••) ä-£>(•••) M<
9 = 1 9 = 1 9 = 1