Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

39

zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen
eineindeutige Abbildung der ebenen Punktmenge 2l0 auf die ebene
Punktmenge 9% mitsamt der inversen, durch die Formeln (33)
vermittelten Abbildung von 95O auf 2l0 stetig, also eine topolo-
gische Abbildung ist. Nach dem Satz von der Invarianz des Ge-
bietes gegenüber topologischen Abbildungen 23) entspricht jedem
inneren Punkt von 2l0 ein innerer Punkt von 93O. Da Ao innerer
Punkt von 2I0 ist, ist also innerer Punkt von 93O. Da B' mit
Bo zusammenfallen darf, sind die Funktionen U(x,y) und V(x, z/)
im Punkt Bo in dem Sinn stetig, daß bei beliebiger Annäherung
innerhalb einer vollen Umgebung der Stelle (x0 , z/0)
U(x, y)^ U(x(), y(), V(x, y)-+V(x0, y^,
wenn (x, y)-^ (x0, z/0). Da Bo ein beliebiger Punkt von 93 war,
sind die Funktionen U(x,y) und V(x,z/) in 93 stetig.
Hiernach ist die durch die Formeln (29) vermittelte Abbildung
von 21 auf 93 eine topologische. Da nach Voraussetzung 21 nur
aus inneren Punkten besteht, besteht nach dem Satz von der
Gebietsinvarianz auch 93 nur aus inneren Punkten. W. z. b. w.
Hilfssatz 5. Besteht 21 aus inneren Punkten, so sind die
Umkehrungsfunktionen (33) der Funktionen (29) in 93 stetig.
Beweis: Für den Fall, daß man den Satz von der Gebiets-
invarianz heranzieht, ergab sich dies schon beim Beweis des
Hilfssatzes 4. Es gilt aber auch, wenn man statt des Satzes von
der Gebietsinvarianz die Voraussetzungen und die Aussage von
Hilfssatz 3 benutzt. Nach Hilfssatz 3 ist nämlich Bo innerer Punkt
von 93O als Bild eines Punktes Ao, der im Innern von 2l0 liegt.
Nach dem zweiten Absatz des Beweises für Hilfssatz 4 sind also
die Funktionen U(x,y) und V(x,t/) in 93O stetig.
Hilfssatz 6. Ist 21 ein Gebiet, so ist auch 93 ein Gebiet.
Beweis: Da 21 eine Menge von inneren Punkten ist, ist
nach Hilfssatz 3 (bzw. Hilfssatz 4) auch 93 eine Menge von inne-
ren Punkten. Sind Bv und B., irgend zwei Punkte von 93, so kann
man, weil 21 ein Gebiet ist, ihre Originalpunkte Ax und Ä2 mit-
tels einer in 21 verlaufenden stetigen Kurve verbinden; deren Bild
23) Ein einfacher Beweis bei E. Sperner, Neuer Beweis für die In-
varianz der Dimensionszahl und des Gebietes. Abhandlungen aus dem
Mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität 6, 1928, S. 265—272.
- Ältere, besonders auch auf den Spezialfall ebener Gebiete bezügliche
Literatur findet man angegeben in der Encyklopädie der mathematischen
Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen, Bd. II, 3, zweite Hälfte,
S. 954.