Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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M. Müller: RiEMANN’sches Integral
ist eine stetige Kurve, die Br und B., verbindet und nur Punkte
von 93 enthält. Also ist auch 93 zusammenhängend. Eine zu-
sammenhängende Menge innerer Punkte ist aber ein Gebiet.
3. Wir geben in diesem Abschnitt Bedingungen an, unter
denen die Bildmenge 93 einen JoRDAN’schen Inhalt J(93) besitzt,
und stellen J(93) dann in Nr. 4 bis 11 mit Benutzung der Ab-
bildungsfunktionen (29) formelmäßig dar 21)-
Satz 5. 21 sei eine beschränkte Menge innerer Punkte in der
(zz, v)-Ebene, ER rfze Menge ihrer Randpunkte, 21' = 21 -1- ER die
abgeschlossene Hülle von 21. Die Funktionen X(u, v) und Y(u, v)
seien in 21' stetig. Durch die Formeln
x = X(u, v), y= Y(u, v)
soll 21 eindeutig und eindeutig umkehrbar auf eine Punktmenge
93 der (x, y)-Ebene abgebildet werden.
Die Bildmenge 93 hat gewiß dann einen Jordan’sehen Inhalt,
wenn
ci) 21 einen Jordan’schen Inhalt hat,
6) zwei positive Zahlen d und L derart existieren, daß für je
zwei Stellen (zz', v') und (u", v”) von für welche
(zz' —zz")2+(A-zz")2<d2
ist, die Funktionen X (zz, v) und Y (zz, v) den Lipschitzbedinguiigen

X(zz', zz') — X(u", v") L
| zz' — u" | 1 zz' — v" |
| Y(zz', v') — Y (u", v") Aa L
| zz' — zz" | | zz' — zz"

genügen.
Beweis: Die Behauptung des Satzes 5 ist gleichwertig mit
der Aussage, daß der Rand von 93 den JORDAN’schen Inhalt Null
hat. Um dies zu zeigen, stellen wir zunächst fest, daß jeder Rand-
punkt von 93 in der Bildmenge von ER enthalten ist, und be-
weisen dann, daß die Bildmenge von ER — und damit auch der
Rand von 93 — den JORDAN’schen Inhalt Null hat.
Da die Abbildungsfunktionen X(u,v) und Y(u, v) im abge-
M) Die verwendeten Tatsachen ans der Lehre vom JORDAN’schen In-
halt findet man alle bei Mangoldt-Knopp, Bd. 3, S. 178—194. Diesem
Lehrbuch folgen wir auch in der Terminologie wenn wir eine Punktmenge,
die einen JORDAN’schen Inhalt besitzt, meßbar statt, wie sonst vielfach
üblich, quadrierbar nennen.