Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen

43

Dann ist, wenn
Xu (u, u) Yu (u, v)
D(u, v) =
X„ (zz, zz) Yv (zz, u)
gesetzt und das Flächenelement des Bereiches 21 mit da bezeichnet
wird,
(41) </(23) = / | D (zz, zz) | da.25)
21
Der Beweis dieser Formel wird in den folgenden Abschnitten
Nr. 5 bis 11 erbracht.
5. Da der Bereich 23 einen JoRDAN’schen Inhalt hat, können
wir zu jeder positiven Zahl e zwei aus achsenparallelen Quadraten
der (x, z/)-Ebene aufgebaute abgeschlossene Punktmengen <5* und
U* derart angeben, daß (5* in 23 und gleichzeitig 23 in U* liegt,
also
(42) J(^)<J(23)^J(U^)
ist, und daß außerdem die Ungleichung
(43) J(U,)-J(^)<!
gilt.
Wir werden in Nr. 6 einen Bereich q der (zz, zz)-Ebene an-
geben, der folgende Eigenschaften hat:
a) q liegt in 21 und hat einen JoRDAN’schen Inhalt; es ist
(44) ® — / B(u, u) da — / D (u, u) ' da <Z — ■
21 _ '
d) Das durch die Formeln (29) vermittelte Bild V von q liegt
in 23 und enthält (£*.
y) Es ist J (t>) vorhanden, also nach ß)
(45) J(^)^J(ß)^e7(25).
(5) Es ist
(46) J(v) = I D(u, u) da.
q
Ist ein solcher Bereich q gefunden, so ergibt sich die Richtig-
keit von Satz 6 folgendermaßen:
Nach (42), (45) und (43) ist
(47) 0 J($B) - J(t>) J(UQ - J(^) < |.

5) Vgl. auch § 10, 1.