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https://doi.org/10.11588/diglit.43745#0044
44
M. Müller: RiEMANN’sches Integral
Nach (47), (46) und (44) ist
J(58) — I D(u, v) dct
■
<
Da die linke Seite dieser Ungleichung von s nicht abhängt und
e beliebig nahe bei 0 gewählt werden kann, ist hiernach die
Formel (41) und damit Satz 6 richtig.
6. Wir wenden uns zur Konstruktion eines Bereiches q mit
den genannten Eigenschaften «), /?), y), ö).
Da die Ableitungen Xu, Xv, Ya, Yv in 21 beschränkt sind, gibt
es eine Konstante L derart, daß in 21
(48) \XU\<L, \XV\<L, |VU|<A, \YV\<L,
also
(49) \D(u,u)\<2 L2.
Wir überdecken die (zz, u)-Ebene mit einem Raster achsen-
paralleler Quadrate; die Vereinigungsmenge aller Quadrate, die
wenigstens einen Punkt von 21 enthalten, heiße die Vereini-
gungsmenge aller Quadrate, deren Inneres und Rand nur aus
Punkten von 21 besteht, heiße q. Da 21 einen JoRDAN’schen In-
halt besitzt, können wir uns von vornherein did Quadratseite q
so klein gewählt denken, daß
(50)
Die Punktmenge (S* liegt in 58; also sind die Funktionen
U(x, z/) und V(x, z/) in stetig (Hilfssatz 5). Da (5* abge-
schlossen ist, ist nach Hilfssatz 2 auch die in 21 gelegene Punkt-
menge (5, die das Bild von (5* bei der Abbildung (33) ist, ab-
geschlossen. Da die Menge 21 nur aus inneren Punkten besteht,
hat jeder Punkt von @ vom Rand des Bereiches 21 einen Ab-
stand, der mindestens gleich einer gewissen positiven Zahl <5 ist.
Nun liegt jeder Punkt von 21, der nicht zu q gehört, in einem
Quadrat des Rasters, in dessen Innerem oder auf dessen Rand
mindestens ein Punkt des Randes von 21 liegt; er hat deshalb
M. Müller: RiEMANN’sches Integral
Nach (47), (46) und (44) ist
J(58) — I D(u, v) dct
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Da die linke Seite dieser Ungleichung von s nicht abhängt und
e beliebig nahe bei 0 gewählt werden kann, ist hiernach die
Formel (41) und damit Satz 6 richtig.
6. Wir wenden uns zur Konstruktion eines Bereiches q mit
den genannten Eigenschaften «), /?), y), ö).
Da die Ableitungen Xu, Xv, Ya, Yv in 21 beschränkt sind, gibt
es eine Konstante L derart, daß in 21
(48) \XU\<L, \XV\<L, |VU|<A, \YV\<L,
also
(49) \D(u,u)\<2 L2.
Wir überdecken die (zz, u)-Ebene mit einem Raster achsen-
paralleler Quadrate; die Vereinigungsmenge aller Quadrate, die
wenigstens einen Punkt von 21 enthalten, heiße die Vereini-
gungsmenge aller Quadrate, deren Inneres und Rand nur aus
Punkten von 21 besteht, heiße q. Da 21 einen JoRDAN’schen In-
halt besitzt, können wir uns von vornherein did Quadratseite q
so klein gewählt denken, daß
(50)
Die Punktmenge (S* liegt in 58; also sind die Funktionen
U(x, z/) und V(x, z/) in stetig (Hilfssatz 5). Da (5* abge-
schlossen ist, ist nach Hilfssatz 2 auch die in 21 gelegene Punkt-
menge (5, die das Bild von (5* bei der Abbildung (33) ist, ab-
geschlossen. Da die Menge 21 nur aus inneren Punkten besteht,
hat jeder Punkt von @ vom Rand des Bereiches 21 einen Ab-
stand, der mindestens gleich einer gewissen positiven Zahl <5 ist.
Nun liegt jeder Punkt von 21, der nicht zu q gehört, in einem
Quadrat des Rasters, in dessen Innerem oder auf dessen Rand
mindestens ein Punkt des Randes von 21 liegt; er hat deshalb