Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen 45
vom Rand des Bereiches 21 einen Abstand, der kleiner als ]/ 2 q
ist. Wählen wir also die Quadratseite q auch noch so klein, daß
I 2 z/<4 ist, so gehört jeder Punkt von (5 zu q.
7. Wir wollen beweisen, daß dieser Bereich q die gewünsch-
ten Eigenschaften hat.
Es ist nach der Konstruktion von q
J(q)<J(2l)^ J(O),
also nach (50)
(51) 0<J(2I)-J(q)S=/(Q)-
Die folgenden Integrale existieren nach einer Voraussetzung des
Satzes 6 auf Grund des ersten Teiles von Satz 2; mit Rücksicht
auf (49) und (51) ist
0 / D(u, v) da — I D (zz, v)\ da = j D (zz, y) da
2t q 21 — q
<j2Z? fda = 2L2 [J(2l) —J(q)]<-|.
21 — q
Der Bereich q hat also die Eigenschaft «).
Wir betrachten jetzt das durch die Formeln (29) vermittelte
Bild V von q. Da q in 21 liegt, liegt V in 5g. Da @ in q liegt,
liegt G* in V. Der Bereich q hat also auch die Eigenschaft /?).
8. Der Beweis, daß J (v) existiert, kann folgendermaßen ge-
führt werden:
Der Bereich q ist aus endlich vielen achsenparallelen abge-
schlossenen Quadraten qx, q2, ..., qz aufgebaut. Die Funktionen
X(u, v) und Y(u, zz) sind in qz stetig, da qz in 21 liegt. Bei der
Abbildung (29) ergibt sich also nach Hilfssatz 2 und Hilfssatz 6
als Bild von qz ein abgeschlossenes Gebiet Vz, das im Allgemeinen
ein krummlinig begrenztes Viereck sein wird; die inneren Punkte
von qz gehen nach Hilfssatz 4 oder auch nach Hilfssatz 3, wenn
dessen schärfere Voraussetzungen erfüllt sind, in innere Punkte
von Vz über; die Punkte des Randes Xz von Vz sind also Bilder
von Randpunkten des Quadrates qz. Da die Abbildung (29) ins-
besondere auf dem Rand von qz eineindeutig ist, ist Xz einein-
deutiges und stetiges Bild des Randes von qz, also eine Jordan-
kurve. Durchläuft der Punkt (zz, z?) einmal den Rand von qz im
positiven Sinn, so durchläuft sein Bildpunkt genau einmal Xz. Der
Umlaufungssinn, dem dabei dieser Bildpunkt folgt, soll der aus-
gezeichnete Durchlaufungssinn von Xz heißen.