Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

zusammengesetzter Funktionen uncl Anwendungen

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sobald
4(3)<4(«) = Mn {«,(.),
Wenn 4 (3) <<5 0 ist, gilt zunächst die Ungleichung (69).
Wir setzen
r
(72) £ V </(»<■) -
" I
indem wir o’'eJ(23p) in die erste oder zweite Summe aufnehmen,
je nachdem 2lP mit @ keinen oder wenigstens einen Punkt ge-
meinsam hat. Gibt es kein 2U der ersten Art, so sei A\ = 0. Im
ersten Fall liegt 2Q ganz in 21 — die Vereinigungsmenge 23e
liegt in 33 — <£*. Daher ist nach Ungleichung (70)
(73) J(S3(,)<2S £,.7(9%)^2 S [</(«)- J(S*)]<|.
Im zweiten Fall sei (zze, Uq) einer der Punkte von 20 der in
(5 liegt. Dann liegt 2G in der Kreisscheibe
(74) (zz —zzP)2 + (u —z02<(e0)2,
da andernfalls cl (2G) e 0 ö 0, also auch 4 (3) ^<5 0 wäre
im Widerspruch zu unserer Wahl von 4 (3). Da die Kreisscheibe
(74) in 21 liegt, gilt für jeden Punkt (zz, u) dieser Kreisscheibe
(vgl. die Herleitung der Ungleichung (65)) die Abschätzung
[X(zz, z?) —X(zzp, zze)]2 + [V(zz, zz) — V(zze, z0]2
02 [ | zz — zze|-j-|y — uQ\ ]204Z?[(zz — zzp)2 + (zz — U>)2].
Hieraus folgt insbesondere für die Punkte (zz, zz) des Teilbereiches
2lP die Ungleichung
[X(zz, zz) —X(zzp, z?o)]2 + [V(zz, zz) — V(zzo, zzp)]2
<4£W^(M0)-,
der man entnimmt, daß d (23Q <Z ö* 0. Wir bezeichnen die Ver-
einigungsmenge zS233e mit 23*; sie ist meßbar und liegt in 23.
Auch die Restmenge 93 — 23* ist meßbar. Wir überdecken sie
mit einem Raster achsenparalleler Quadrate, deren Diagonale
kleiner als <5*0 ist, und betrachten die endlich vielen, etwa t,
Quadrate, deren Durchschnitt mit 23 — 23* nicht leer ist. Jedes
Q-c ist meßbar. Somit ist
z
S2
T= 1