Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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zusammengesetzter Funktionen und Anwendungen
Der erste Bestandteil der rechten Seite ist nach (71) kleiner als
e, weil die Abweichung einer Riemannsehen Summe vom Inte-
gral nie größer ist als die Differenz der für dieselbe Zerlegung
berechneten Obersumme und Untersumme. Für den zweiten Be-
standteil ergibt sich mit Rücksicht auf (69) die Ungleichung
2 — \D(us,ve) \ J(2le) | ■ S 2 ae J(2G)<y,
9 = 1 L J 9 = 1
den dritten kann man unter Beachtung von (72), (73) und (75)
so abschätzen:

2 </,)] J(S5s)| £ 21 V </(%,) + + U

Somit ist
1 f(x,y)db — / F (u, t>) da \ <C 2 s,
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also, weil die linke Seite nicht von e abhängt und e beliebig
nahe bei 0 gewählt werden darf, die Formel (66) richtig.

3. Daß die Transformationsformel (66) auch noch unter all-
gemeineren Voraussetzungen gilt, als wir hier benutzten, kann
man Sätzen entnehmen, die Herr H. Rademacher für die Trans-
formation Lebesguescher Flächenintegrale bewiesen hat30). Z. B.
genügt es, statt der Integrierbarkeit jeder einzelnen Ableitung
Xa, Xv, Yu, Yv die Integrierbarkeit von D(u, u) vorauszusetzen.
Der Rademacher sehe Beweis verwendet Tatsachen, die in der
Theorie des Lebesgue sehen Integrales, nicht aber auch in der
Theorie des Riemann sehen Integrales gelten, und außerdem tiefer-
liegende Sätze der Lebesgue sehen Integraltheorie. Der in der
vorliegenden Arbeit auseinandergesetzte Beweis benutzt dagegen,
wenn man von der Heranziehung des Satzes von der Gebiets-
invarianz absieht oder sie durch die zusätzliche Voraussetzung,
daß im Integrationsbereich die Funktionaldeterminante von Null
verschieden sein soll, umgeht, nur die einfachsten Sätze aus der
Theorie des Jordansehen Inhaltes und des Riemannsehen Inte-
grales, kann also in jeder Anfängervorlesung vorgetragen werden.

30) H. Rademacher. Eineindeutige Abbildungen und Meßbarkeit. Mo-
natshefte für Mathematik und Physik 27, 1916, S. 183—290; bes. Satz 26
auf S. 288. — Über partielle und totale Differenzierbarkeit von Funktionen
mehrerer Variablen und über die Transformation der Doppelintegrale.
Mathematische Annalen 79, 1919, S. 340—359.