Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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M. Müller : RiEMANN’sches Integral
Da hiernach z. B. nicht 7?<°> (0, 0, u, zz) -» 0 strebt für zz -> 0,
besitzt <7(0)(zz, u) im Punkt (0, 0) kein vollständiges Differential. In
allen anderen Punkten (zz0, zz0) ist dies dagegen der Fall, weil
dort die Ableitungen erster Ordnung stetig sind 35).
Es sei nun (zzx, zzx), (zz2, zz2), ..., (zz„, zz„), ... eine im Einheits-
kreis überall dicht liegende Punktfolge,
^<n)(zz, zz)=^(°)(zz —ZZn, Ü — Un) (z? = 1, 2, 3, . . . ),
co i
g{u, zz)= zz).
Nach den Ungleichungen (77) haben diese Reihe und ebenso die
durch gliedweise Differentiation nach zz und u entstehenden Reihen
im Einheitskreis die Majorante
CO 1
n = l
sie sind also im Einheitskreis gleichmäßig konvergent. Daher
ist im Einheitskreis g (zz, zz) stetig und seinem Betrage nach nicht
größer als 1; ferner ist
glt (u, zz) = ÖF (zz > ^) = S ÖF 9P (u , >
n=l n = l
| £7» (zz, zz) | 5^ 1, | gv (zz, zz) | 1;
schließlich sind die Ableitungen gu(ii, v) und gv(u, v) über den
Einheitskreis integrierbar. Die Funktion g(u, v) erfüllt also alle
Anforderungen, die in Satz 6 an die Funktionen X(zz, zz) und
V (zz, zz) gestellt wurden.
Wir wollen zeigen, daß die Funktion g(u, v) an keiner der
Stellen (zz„, zz„) (zz = 1, 2, 3, ...) ein vollständiges Differential hat.
Wird für zz = 1, 2, 3, ...
(78) g^ (u, u) = gW (u0, zz0) + gW (zz0, zz0) (zz — zz0) + g™ (Uq , y0) (^ — y0)
+ RW (u0,u0,u,u) | (zz — zz0)2 + (zz — zz0)2
gesetzt, so ist mit Rücksicht auf (77)
Rademacher mit noch etwas allgemeineren Voraussetzungen auskommt,
können wir hier absehen.
35) Dieses Beispiel führt Herr A. Rosenthal a, in 33) a. O. in Fußnote
85°) an.