Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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M. Müller : RiEMANN’sches Integral
wenn (zz — 4)24 (ü — vn)2 —> 0 strebt, weil für n=f= N die Ablei-
tungen g^(u, zz) und g®(u, v) an der Stelle (uN, vN) stetig sind.
Es gibt also eine positive Zahl derart, daß für alle Punkte der
Geraden (82), deren Abstand vom Punkt (un, Vn) größer als 0
und kleiner als q ist, die Ungleichung
TV 4-5
(84) I ST un,u,u)\< 4. i„+1
n = 1
besteht. Für die genannten Punkte ist nach (80), (81), (84) und (83)
a 1 I - 1 i 1 1
R \un, Vn, u, v) 2^+11 <- 4.2Ar+1 4 ■ 2/v+1 2 • 2/v+1 ’
also
\R(un, vN,u, v) >^W+2-
Die Funktion g(a, v) besitzt hiernach an der Stelle (un, vn) und
damit an jeder der Stellen (zzx, vf), (u2, u2),... kein vollständiges
Differential.
Die Abbildung
x = X(u, v) = g(u, zz) 4 3 zz, y — Y(zz, u) = g(u, v) 4 3v,
bei welcher
D (u, zz) = 3 \gu (u, v)-\-gv(u, z>)] 449 - 3 ■ 2 = 3 >0,
ist gewiß in einem hinreichend kleinen Teilgebiet 21 des Ein-
heitskreises eineindeutig und stetig und erfüllt die Voraussetzungen
des Satzes 6. Die Menge derjenigen Punkte von 21, in denen
X(zz, v) und E(zz, v) kein vollständiges Differential besitzen, hat
hier den äußeren Jordansehen Inhalt J(2l), also nicht den
JORDANschen Inhalt Null. Dieses Beispiel zeigt nach der Vor-
bemerkung, daß Satz 6 und damit auch Satz 7 im Rahmen der
RiEMANNSchen Integraltheorie nicht auf dem von Jordan ein-
geschlagenen Wege bewiesen werden können.
§ 10. Verwandlung eines Flächenintegrales in ein einfaches
Integral (Gaußscher Integralsatz für die Ebene).
1. Wir schicken folgende Bemerkung voraus:
Hat die Transformation (29) die spezielle Form
x = X (zz, zz), y = v, bzio. x = u, y=Y(u,v)
und wird in diesem Fall