Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

64

M. Müller : RiEMANN’sches Integral

2. Satz 8. Das einfach zusammenhängende Gebiet 21 sei
meßbar und werde von einer Jordankurve
: u = u (f), v = v (f), a :< t < ß

(85)

begrenzt. Die Funktion v(f) besitze eine über das Intervall (a, ß)
integrierbare Ableitung. Der Durchschnitt einer jeden Parallelen
zur u-Achse mit 21 $ sez, wenn überhaupt gemeinsame Punkte
vorhanden sind, eine einzige abgeschlossene Strecke (oder ein
einziger Punkt). Die Vereinigungsmenge aller inneren Punkte
aller dieser Strecken heiße 21*. Die Funktion f(u, v) soll in 21 -j-$
stetig sein und in 21* ez/ze beschränkte Ableitung fu(u, v) haben,
die über 21 integrierbar ist. Dann gilt die Formel
ß
I fu (u, V) da = ± I f(u (0, v (0) v' (0 dt,
21 «

in der das Pluszeichen (Minuszeichen) steht, wenn der Punkt
(u(t), v(t)) die Kurve 5t im positiven (negativen) Sinn durchläuft,
während t von a bis ß wächst.
Werden bei den Voraussetzungen die Rollen der Veränder-
lichen u und v vertauscht, so gilt entsprechend die Formel
ß
(86) I fv (zz, v) da = + / f(u (f), v (t)) u' (t) dt37).
21 «

Es wird genügen, den Beweis der Formel (85) vorzuführen,
da der Beweis der Formel (86) entsprechend verläuft.
Nach Voraussetzung gibt es eine Konstante K derart, daß
\fu(p, u) | < K in 21. Wir setzen

(87) x = X(u, v) = f(u, v)-\- Ku, y=Y(u,v) = v.

Diese Formeln beschreiben eine eindeutige und stetige Abbildung
des Bereiches 21-j-Ä auf einen beschränkten Bildbereich 23'.
Diese Abbildung ist aber auch eindeutig umkehrbar; denn ist
(x0, z/0) ein Punkt von 23', so muß nach der zweiten Formel jeder
der Punkte (zz0, zz0), der auf ihn abgebildet wird, auf der Strecke
liegen, welche die Gerade v = v0 = y0 mit 21 5\ gemeinsam
hat. Auf dieser Strecke kann aber nur ein solcher Punkt (zz0,zz0)
liegen. Wenn die Strecke nur aus einem einzigen Punkt besteht,

37) Wenn man lediglich voraussetzt, daß o(Z), bzw. u(t) von beschränkter
Schwankung ist, bleiben die Formeln (85) und (86) gültig, wofern man
unter dem Integral rechts u'(t) dt durch du(t), bzw. u'(f) dt durch du (t)
ersetzt und das Integral als STiELTJES’sches Integral auffaßt. Vgl. Anm.12).