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https://doi.org/10.11588/diglit.43745#0070
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M. Müller: RiEMANN’sches Integral
Es sei 3 eine Zerlegung des Intervalles (ci,b), @3 der ihr
entsprechende geschlossene Sehnenzug von ^,Fg = F(G(g) der
analytische Inhalt der Fahrstrahlenmenge von 63. Wir wollen
zeigen, daß bei geeigneter Bestimmung der Windungszahlen wn
die Menge der Zahlen F(Gg) nicht beschränkt ist, also
F($) = lim F(63)
nicht existiert.
Die Bestimmung der Windungszahlen wn kann folgender-
maßen geschehen: Beim Durchlaufen der Spirale markieren
wir der Reihe nach die Schnittpunkte mit den Halbstrahlen
an, bn, cn, an, bn, cn, .... und bezeichnen sie in der angegebenen
Reihenfolge mit Qnu= Hn, Qn\, Qn2, . ■. ■, Qn,3wn= An. Beim
Rückwärtslaufen auf der Spirale Gn markieren wir nur immer die
Schnittpunkte mit den Halbstrahlen an, bn, cn, ein, bn, cn, • • •, über-
springen also immer einen der Halbstrahlen; diese Schnittpunkte
bezeichnen wir in der angegebenen Reihenfolge mit
Qn, 3wn, Qn, 3iün + l> • • • •
Damit der letzte dieser Punkte nach (wn— l)-maligem Umlauf
um Mn mit dem Punkt Dn zusammenfällt, muß die Anzahl der
Windungen von G>„, d. h. wn~ 1, eine gerade Zahl sein, etwa
wn—1 = 2 Zc,?; der letzte Schnittpunkt ist dann Qn, 9ä:„+3 = Dn.
Wir denken uns nun die Zerlegung 3 so gewählt, daß zunächst
für eine einzelne Nummer n die Punkte Qno, •••> Q«, 9/^+3 Eck-
punkte des Sehnenzuges 63 sind. Beim Durchlaufen des Poly-
gones Qno ■.. . Qn, 9^+3, das kurz mit bezeichnet werde,
bleibt das Dreieck An, Bn, Cn stets zur Linken; es wird (3/cn+l)-
mal im positiven Sinn umschlungen. Der erste Umlauf Q»oQ?zi Qn2Qn3
liefert zu FfGyg) den Beitrag41)
F (O , QnO, QnQ F (Q, Qn\, Qn2) F (O, Qn2, Qn3^
— F (O , QnO, Qnl)~\~F(O, Qnl, Qn2) 4“ F (O, Qn2, Qn3) F (O, Qn3,Qn(>)
- F (QnO , Qnl , Qn2 , Qn3 , Qn o) ,
da das Viereck QnoQniQn2Qn3Qno das Dreieck AnBnCn umschließt,
also einen Beitrag, der größer als An ist. Dasselbe gilt von den
3kn weiteren Umläufen
Qn3 , Qni , Qn5 , Qn6 , Qn , 9kn ’ Qn < ^^n 'M ’ Qn > 9knF2 ’ Q’1 > 9^7? +3 •
Das Polygon 44 liefert also zu F(Qq) einen Beitrag, der größer
ist als
41) F(Ai, A2. Am) bedeutet den analytischen Inhalt der Fahr-
strahlenmenge des Polygons mit den Ecken A, A2, ..., Am, Ai.
M. Müller: RiEMANN’sches Integral
Es sei 3 eine Zerlegung des Intervalles (ci,b), @3 der ihr
entsprechende geschlossene Sehnenzug von ^,Fg = F(G(g) der
analytische Inhalt der Fahrstrahlenmenge von 63. Wir wollen
zeigen, daß bei geeigneter Bestimmung der Windungszahlen wn
die Menge der Zahlen F(Gg) nicht beschränkt ist, also
F($) = lim F(63)
nicht existiert.
Die Bestimmung der Windungszahlen wn kann folgender-
maßen geschehen: Beim Durchlaufen der Spirale markieren
wir der Reihe nach die Schnittpunkte mit den Halbstrahlen
an, bn, cn, an, bn, cn, .... und bezeichnen sie in der angegebenen
Reihenfolge mit Qnu= Hn, Qn\, Qn2, . ■. ■, Qn,3wn= An. Beim
Rückwärtslaufen auf der Spirale Gn markieren wir nur immer die
Schnittpunkte mit den Halbstrahlen an, bn, cn, ein, bn, cn, • • •, über-
springen also immer einen der Halbstrahlen; diese Schnittpunkte
bezeichnen wir in der angegebenen Reihenfolge mit
Qn, 3wn, Qn, 3iün + l> • • • •
Damit der letzte dieser Punkte nach (wn— l)-maligem Umlauf
um Mn mit dem Punkt Dn zusammenfällt, muß die Anzahl der
Windungen von G>„, d. h. wn~ 1, eine gerade Zahl sein, etwa
wn—1 = 2 Zc,?; der letzte Schnittpunkt ist dann Qn, 9ä:„+3 = Dn.
Wir denken uns nun die Zerlegung 3 so gewählt, daß zunächst
für eine einzelne Nummer n die Punkte Qno, •••> Q«, 9/^+3 Eck-
punkte des Sehnenzuges 63 sind. Beim Durchlaufen des Poly-
gones Qno ■.. . Qn, 9^+3, das kurz mit bezeichnet werde,
bleibt das Dreieck An, Bn, Cn stets zur Linken; es wird (3/cn+l)-
mal im positiven Sinn umschlungen. Der erste Umlauf Q»oQ?zi Qn2Qn3
liefert zu FfGyg) den Beitrag41)
F (O , QnO, QnQ F (Q, Qn\, Qn2) F (O, Qn2, Qn3^
— F (O , QnO, Qnl)~\~F(O, Qnl, Qn2) 4“ F (O, Qn2, Qn3) F (O, Qn3,Qn(>)
- F (QnO , Qnl , Qn2 , Qn3 , Qn o) ,
da das Viereck QnoQniQn2Qn3Qno das Dreieck AnBnCn umschließt,
also einen Beitrag, der größer als An ist. Dasselbe gilt von den
3kn weiteren Umläufen
Qn3 , Qni , Qn5 , Qn6 , Qn , 9kn ’ Qn < ^^n 'M ’ Qn > 9knF2 ’ Q’1 > 9^7? +3 •
Das Polygon 44 liefert also zu F(Qq) einen Beitrag, der größer
ist als
41) F(Ai, A2. Am) bedeutet den analytischen Inhalt der Fahr-
strahlenmenge des Polygons mit den Ecken A, A2, ..., Am, Ai.