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https://doi.org/10.11588/diglit.43795#0004
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Hans Maass: Gruppen von
Veränderlichen. Es ist daher bemerkenswert, daß man nunmehr
imstande ist, das oben genannte Theorem mit Hilfe der neuen
SiEGEL’schen Methoden mit geringerem Aufwand in verständ-
licher Weise für alle Gruppen vom Typus der HiLBERT’schen
Modulgruppe herzuleiten. Dabei hat man allerdings zu beachten,
daß der Begriff der automorphen Funktion enger als bisher üblich
begrenzt werden muß. Während nämlich in B II3) als automorphe
Funktion eine solche Funktion über dem Fundamentalbereich ange-
sprochen wird, die sich — kurz gesagt — an jeder Stelle des Fun-
damentalbereiches meromorph verhält, wird jetzt eine automorphe
Funktion als Quotient (ganzer) automorpher Formen beliebiger
reeller Dimension erklärt. Insofern bleibt die Bedeutung der
BLUMENTHAL’schen Untersuchungen, die auch für allgemeinere
Gruppen Gültigkeit besitzen, in vollem Umfang erhalten.
Die vorliegende Arbeit dient einerseits dem Zweck, allge-
meine Sätze von elementarem Charakter über Grenzkreisgruppen
auf mehrere Veränderliche zu übertragen, andererseits der Kon-
struktion von brauchbaren Fundamentalbereichen. Insbesondere
wird dabei folgendes ausgeführt: Eine beliebige Gruppe G von n
simultanen Substitutionen
(2)
> I s(r) I = 1 > y(v)’ (5(”) ree114)’
welche auf
r = { tÜ), ...
£ die Wirkung haben,
von !£ in
einen beliebigen Punkt
(3)
az-^ß (qü)Y(l) a(») 7(n)_|_^(n)|
yZ + <5 ~~ | Z1) A1) ‘ ‘ ’ y™ z,^ + (5W J
überzuführen, erweist sich genau dann als in £ diskontinuierlich,
wenn G keine infinitesimalen Substitutionen enthält, d. h. wenn
es in G keine Folge von Substitutionen gibt, die gegen die Iden-
tität konvergiert, außer wenn fast alle Substitutionen mit der
Identität übereinstimmen* 5). Daraus erhellt sofort, daß z. B. die
HiLBERT’sche Modulgruppe diskontinuierlich ist. Außerdem ge-
stattet dieses Kriterium, die wichtigen Sätze 1 und 2 in P I,
S. 33 sinngemäß zu verallgemeinern. Setzt man
') Die Gruppenkomposition ist die gewöhnliche Matrizenmultiplikation.
5) Vergl. H. Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche (Berlin 1923),
im folgenden zitiert mit W , S. 159.
Hans Maass: Gruppen von
Veränderlichen. Es ist daher bemerkenswert, daß man nunmehr
imstande ist, das oben genannte Theorem mit Hilfe der neuen
SiEGEL’schen Methoden mit geringerem Aufwand in verständ-
licher Weise für alle Gruppen vom Typus der HiLBERT’schen
Modulgruppe herzuleiten. Dabei hat man allerdings zu beachten,
daß der Begriff der automorphen Funktion enger als bisher üblich
begrenzt werden muß. Während nämlich in B II3) als automorphe
Funktion eine solche Funktion über dem Fundamentalbereich ange-
sprochen wird, die sich — kurz gesagt — an jeder Stelle des Fun-
damentalbereiches meromorph verhält, wird jetzt eine automorphe
Funktion als Quotient (ganzer) automorpher Formen beliebiger
reeller Dimension erklärt. Insofern bleibt die Bedeutung der
BLUMENTHAL’schen Untersuchungen, die auch für allgemeinere
Gruppen Gültigkeit besitzen, in vollem Umfang erhalten.
Die vorliegende Arbeit dient einerseits dem Zweck, allge-
meine Sätze von elementarem Charakter über Grenzkreisgruppen
auf mehrere Veränderliche zu übertragen, andererseits der Kon-
struktion von brauchbaren Fundamentalbereichen. Insbesondere
wird dabei folgendes ausgeführt: Eine beliebige Gruppe G von n
simultanen Substitutionen
(2)
> I s(r) I = 1 > y(v)’ (5(”) ree114)’
welche auf
r = { tÜ), ...
£ die Wirkung haben,
von !£ in
einen beliebigen Punkt
(3)
az-^ß (qü)Y(l) a(») 7(n)_|_^(n)|
yZ + <5 ~~ | Z1) A1) ‘ ‘ ’ y™ z,^ + (5W J
überzuführen, erweist sich genau dann als in £ diskontinuierlich,
wenn G keine infinitesimalen Substitutionen enthält, d. h. wenn
es in G keine Folge von Substitutionen gibt, die gegen die Iden-
tität konvergiert, außer wenn fast alle Substitutionen mit der
Identität übereinstimmen* 5). Daraus erhellt sofort, daß z. B. die
HiLBERT’sche Modulgruppe diskontinuierlich ist. Außerdem ge-
stattet dieses Kriterium, die wichtigen Sätze 1 und 2 in P I,
S. 33 sinngemäß zu verallgemeinern. Setzt man
') Die Gruppenkomposition ist die gewöhnliche Matrizenmultiplikation.
5) Vergl. H. Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche (Berlin 1923),
im folgenden zitiert mit W , S. 159.