Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

hyperabelschen Transformationen

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für zwei beliebige Punkte ?0, von X. Wählt man wieder z0— i
und berechnet die partiellen Ableitungen von

t(v)) = log

+ — i
_ |T(O —/

nach und y^ im Punkte z^ = iy^, y^ Xj: 1, so ‘erhellt, daß

(22)

s (*<,, + <n) — s Co,

n
rl) = s
T = 1

S(P (rQ(O T1(P)
S (r0, rj

dy^

Andererseits gilt für das Differential dzt = dxx i dyt der Geo-
dätischen von r0 nach tx im Punkte nach (20) und (19):


Beachtet man noch, daß
S (O Gn(») 7,("h
c(>’) = 6 Vo ’ 1 7
S (r0 ,
so folgt aus (22), (23)

(p = 1, 2, ..., 72) ,

(24) S (r0 , zx -|-dT) — S (r0 , rr) — o dz • COS (dz, dz^) .

Wegen beiderseitiger Invarianz bei den Automorphismen von X
gilt (24) für zwei beliebige Punkte von X.
Die Mannigfaltigkeit b der Punkte z von X, welche von zwei
gegebenen Punkten zx, ?2 gleichen Abstand haben, für welche also
(25) s (rt, r) = s (t2 , t) (tx -~X t2)
gilt, hat in jedem ihrer Punkte z0 eine Tangentialhyperebene, Ist
nämlich z0-\-dz ein auf gelegener Nachbarpunkt von z0, so gilt
nach (24)
(26) cos (dz', dz) = cos (dz2, dz),
wobei dzk das Differential der Geodätischen Qk von zk nach z0
(/r = 1, 2) im Punkte z0; das ist aber für dz eine lineare Gleichung
mit nicht sämtlich verschwindenden Koeffizienten; denn die Geo-
dätischen von z0 nach rx und z2 genügen Differentialgleichungen
2. Ordnung, sind also durch Anfangspunkt und -richtung ein-
deutig bestimmt und können daher nicht in gleicher Richtung
durch z0 gehen, f) wird von den beiden Geodätischen ß/,- im Punkt