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https://doi.org/10.11588/diglit.43795#0018
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Hans Maass: Gruppen von
fo unter einem von 0 verschiedenen Winkel durchsetzt. Ent-
sprechend der Tatsache, daß
4 = s (^, t) — s (t2 , 7)
größer oder kleiner als 0 ist, zerfallen die nicht auf b gelegenen
Punkte von £ in zwei Klassen und . Die Punkte jeder
dieser Klassen sind innerhalb der betreffenden Klasse verbindbar.
Die „Dreiecksungleichung“ hat nämlich zur Folge, daß eine Geo-
dätische durch Tj oder z2 höchstens einen Punkt mit f) gemeinsam
hat. Andererseits kann auf einer Geodätischen g durch t2 und
einen Punkt r, der näher an ?2 als an liegt, zwischen t2 und
t nur eine gerade Anzahl von Punkten von b liegen, da in jedem
solchen Punkt 4 das Vorzeichen wechselt und 4 in t und t2 positiv
ist. Es kann also auf g zwischen ?2 und t Punkte von l) garnicht
geben; folglich gehören mit t auch alle Punkte von g zwischen
t und t2 zu Ä+, woraus die Behauptung über den Zusammen-
hang von .ft’-p und erhellt. Ein beliebiger Punkt von &+ kann
mit einem beliebigen Punkt von nicht verbunden werden,
ohne daß man dabei b trifft: auf einer beliebigen Verbindungs-
kurve wechselt nämlich 4 mindestens einmal das Vorzeichen.
Wir geben jetzt für eine diskontinuierliche Gruppe G die ein-
gangs erwähnte Konstruktion eines Fundamentalbereiches an.
Vorweg zeigen wir noch, daß kein Punkt von £ Häufungspunkt
von Fixpunkten von G sein kann. Nehmen wir nämlich an, es
gelte für die Folge (/r=l, 2, ...) von verschiedenen Punkten
aus £:
lim tk = t.o Sk Tk = ik, Sk=/= E, Sk C G .
k—>■ co
Dann ist
Sk — A/f 1
!ei(pk
\0
Ak,
und man kann eine konvergente Teilfolge, die wieder mit Sk be-
zeichnet werde, auswählen. Die Existenz der Folge SA. steht
dann im Widerspruch zur Diskontinuität von G; also können
sich die Fixpunkte von G im Innern von X nicht häufen. Nun sei
z0 < X kein Fixpunkt von G und fest gewählt. Die Gesamtheit aller
mit nach G äquivalenten Punkte sei in irgend eine Reihenfolge
a2, t3 ... gebracht. Mit b/.- werde die Menge der Punkte aus £
bezeichnet, die von r0 und gleichen (nichteuklidischen) Abstand
haben. Jede Mannigfaltigkeit b/>- zerlegt, wie oben erörtert, 2 in
zwei Halbräume. Vom Durchschnitt $0 aller Halbräume, die ent-
Hans Maass: Gruppen von
fo unter einem von 0 verschiedenen Winkel durchsetzt. Ent-
sprechend der Tatsache, daß
4 = s (^, t) — s (t2 , 7)
größer oder kleiner als 0 ist, zerfallen die nicht auf b gelegenen
Punkte von £ in zwei Klassen und . Die Punkte jeder
dieser Klassen sind innerhalb der betreffenden Klasse verbindbar.
Die „Dreiecksungleichung“ hat nämlich zur Folge, daß eine Geo-
dätische durch Tj oder z2 höchstens einen Punkt mit f) gemeinsam
hat. Andererseits kann auf einer Geodätischen g durch t2 und
einen Punkt r, der näher an ?2 als an liegt, zwischen t2 und
t nur eine gerade Anzahl von Punkten von b liegen, da in jedem
solchen Punkt 4 das Vorzeichen wechselt und 4 in t und t2 positiv
ist. Es kann also auf g zwischen ?2 und t Punkte von l) garnicht
geben; folglich gehören mit t auch alle Punkte von g zwischen
t und t2 zu Ä+, woraus die Behauptung über den Zusammen-
hang von .ft’-p und erhellt. Ein beliebiger Punkt von &+ kann
mit einem beliebigen Punkt von nicht verbunden werden,
ohne daß man dabei b trifft: auf einer beliebigen Verbindungs-
kurve wechselt nämlich 4 mindestens einmal das Vorzeichen.
Wir geben jetzt für eine diskontinuierliche Gruppe G die ein-
gangs erwähnte Konstruktion eines Fundamentalbereiches an.
Vorweg zeigen wir noch, daß kein Punkt von £ Häufungspunkt
von Fixpunkten von G sein kann. Nehmen wir nämlich an, es
gelte für die Folge (/r=l, 2, ...) von verschiedenen Punkten
aus £:
lim tk = t.o Sk Tk = ik, Sk=/= E, Sk C G .
k—>■ co
Dann ist
Sk — A/f 1
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und man kann eine konvergente Teilfolge, die wieder mit Sk be-
zeichnet werde, auswählen. Die Existenz der Folge SA. steht
dann im Widerspruch zur Diskontinuität von G; also können
sich die Fixpunkte von G im Innern von X nicht häufen. Nun sei
z0 < X kein Fixpunkt von G und fest gewählt. Die Gesamtheit aller
mit nach G äquivalenten Punkte sei in irgend eine Reihenfolge
a2, t3 ... gebracht. Mit b/.- werde die Menge der Punkte aus £
bezeichnet, die von r0 und gleichen (nichteuklidischen) Abstand
haben. Jede Mannigfaltigkeit b/>- zerlegt, wie oben erörtert, 2 in
zwei Halbräume. Vom Durchschnitt $0 aller Halbräume, die ent-