Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

hyperabelschen Transformationen 21
Hilfssatz 2: Zu i = x -j- iy C £ gibt es ein Paar ganzer Zahlen
y, (5=^0, 0, für welche die Ungleichungen
1
+ 0=1, 2, .., /?)
erfüllt sind, sobald Nc = 2~n 4 1 (4 = Diskriminante von Z) und
c > 0.
Bewei s: s. B I, S. 528.
Hilfssatz 3: Zu t C £ gibt es eine Substitution So C K derart,
daß
T1 = Sot = x1-|-/z/1, N z/1>2-nx1_2z? 4-1.

Beweis: Zu t = x-\-iy bestimme man nach Hilfssatz 1 und 2
sukzessive y, ö und So; es gilt dann

-g->_
Oox H- O)2 4 7o2 y2 %\2

_y__->c
0x O- <02 H~ 72 z/2 xi2

und N yU>*x 2n N c = 2~n 2n 4“1, q. e. d.

Wir betrachten nun, um für spätere Zwecke die nötige All-
gemeinheit zu wahren, eine beliebige diskontinuierliche affine
Substitutionsgruppe A; sie enthalte n unabhängige Translationen
und n — 1 hyperbolische Transformationen mit unabhängigen
Multiplikatoren; d. h 00 = ^00, ..., co ' soll für A parabolische Spitze
sein. Wir bezeichnen mit a1,...,an bzw. /lO • • •, eine
Basis für die Translationen bzw. die Multiplikatoren und setzen
y(') = log z/t1’),
(28) = log 2(fcv)2 0 = 1, ..., z?; k = 1, ..., n — 1),
u n
Dann gibt es für jeden Punkt t — x-|-iy C £ eine eindeutige
Darstellung
n n — 1
(29)
Zc = l Zc=O

und ein Fundamentalbereich für A wird beschrieben durch die

Ungleichungen
(30)

— (Ä=l, 2.n)
(/=1,2.n— 1).

Der Beweis hierfür ist evident, wenn man erst y und dann x
reduziert (s. B I, Teil Id). Die Koordinate