Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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LeoKoenigsberger:

sind, und für welche die Summe von zweien ihrer Lösungen
gleich der willkürlich vorgelegten rationalen Zahl v ist.
Werfen wir nunmehr die Frage auf, ob es stets irreduktible
Gleichungen gibt, für welche zwei ihrer Lösungen in der Be-
ziehung stehen
(8) cc = p cp- -F v cp p — F (cp),
worin p, v, p willkürlich gegebene rationale Zahlen bedeuten,
so ist zunächst leicht ersichtlich, daß man stets eine rational-
zahlige quadratische Gleichung
(9) x" + p x q = 0
bilden kann, deren beide Lösungen, die als nicht rational voraus-
gesetzt werden, in der Beziehung (8) zueinander stehen. Denn
da vermöge (9) die Beziehung (8) in die Form gesetzt werden kann
Cb = (v — p p) op -)- p — ,u q,
und eine lineare Beziehung zwischen zwei Lösungen einer irre-
duktibeln quadratischen Gleichung die Bedingungen erfordert
v —pp= —1 p —pq=-p,
so werden sich die rationalen Koeffizienten p, q der gesuchten
quadratischen Gleichung in der Form ergeben
v-hi v-t-l-t-pp
p = '-, q =-^- .
p p-
mul in der Tat stehen die Lösungen der quadratischen Gleichung



x + r+= o.
b"

welche auch, wenn F- die iterierte Funktion bedeutet, durch
F x — x
ersetzt werden kann, in der verlangten Beziehung (8). Die letztere
Bleichung kann auch, wie leicht zu sehen, wenn
F'' x — F x

(F x — x)

F" x — x\ GG x — F x

F x — x

. - 0(x)

F x — x

gesetzt wird, m der Form dargestellt werden
Wx — Fx

(F x — x)

F-x — F x
Fx--x

0:

0 x

9 Die Form rührt, von Herrn Hilbert gelegentlich einer mündlichen Be-
sprechung des obigen Beihentheorems her.