Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

LeoKoenigsberger:

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wenn die zu einer der drei Gruppen von vier Elementen gehörige
kubische Hilfsgleichung eine rationale Lösung besitzt, einen irre-
duktibeln biquadratischen Faktor liefern, dessen Lösungen dann
fn einer ähnlichen rationalzahligen linearen Relation stehen
müßten, und ähnliche Schlüsse gelten für Gleichungen höherer
Grade unter Voraussetzung der Existenz der Relation (23).
Sei nunmehr allgemein zu untersuchen, ob und wann es
irreduktible Gleichungen gibt, für welche zwischen zwei ihrer
Lösungen cp und cq eine Relation von der Form besteht
(25) — g -)- v cq* " * -j- . . . -}- p cq -)- o — b cq ,
worin x eine gegebene positive ganze Zahl, g, v, . . . p, o ratio-
nale Zahlen bedeuten sollen, so bemerke man zunächst, daß,
wenn der Grad der gesuchten irreduktibeln Gleichung der nF'
ist, sämtliche Lösungen dieser Gleichung sich in Gruppen mit der-
selben iterierten Funktion b bringen lassen, und daß jedenfalls
(26) b^ cq = ot,
ist. Es wird somit cq eine Lösung der Gleichung
(27) b^ x — x = 0
sein, und daher das gesuchte irreduktible Polynom, dessen
Lösungen die Gruppen bilden
a i b oq b^ cq . . . b^ü ^ cq
a\ba\b"a/...b^'^'^'
cq(nq -1)3 cq(ms - 1) 33 - 1) , 3(31, - 1) ^(nq - 1) ^
worin m — irq-nq, und
(28) b'^' a^G) —
ist, ein rationaler Faktor der linken Seite der Lleivhung (27)
sein. Da aber die Nullwerte der Gleichung
(29) bx —x = 0
auch die Gleichung (27) befriedigen, für die Lösungen der irre-
duktibeln Gleichung aber b cqG) von cqG) verschieden ist, so wird
das irreduktible Polynom auch ein Faktor der linken Seite der
Gleichung

sein, und, wenn m = p eine Primzahl ist, der Grad der Gleichung