Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eigenschaft unendiicher Funktionalreihen.

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und nimmt man z. B.
— und ähnlich für jede ganze Funktion von x, wenn c 4= 0 —,
so ergibt sich

so daß die Differentialgleichung (35) die Form annehmen würde

deren Integrale durch
1 K K
v, = x und = x
dargestellt sind, was der Annahme der Irreduktihilität wider-
spricht.
Es mag endlich noch für die weitere Untersuchung der nach-
folgende Hilfssatz vorausgeschickt werden.
Wenn für eine lineare homogene Differentialgleichung mit
konstanten ganzzahligen Koeffizienten

(n) ! (n
U y + H y

(37)
die algebraische Bleichung

0 , ('i
+ B y

+ - - - + Hi y = ^

mm n, n— 1 , n —2 ,
(3b) r„ni +r^n -f-innt

mit Adjungierung rationaler Zahlen irreduktibel ist, so läßt sich
leicht zeigen, daß ein aus deren Integralen zusammengesetzter
Ausdruck von der Form

(-^) yi = gi (x) e

, , nig x ,
g. (x) e +

. . + g„ (x) e

worin gi(x), g^(x), . . . gn(x) ganze und ganzzahlige Funktionen
von x sind, nicht das Integral einer linearen homogenen
Differentialgleichung mit gleicharfigen Koeffizienten

(40)

Po (x) y + Pi (x) y"

t)

4- . . . + (x) y = 0

sein kann, wenn v < n ist.
Setzt man nämlich in diese Differentialgleichung ein, so
ergibt sich

(41

TW 1Y1.X I Fli^X ] ] -!-) 1
B^ (x) e -j- B^ (x) e " U,^ (x) e

worin Rp(x) wiederum ganze Funktionen von x sind, in denen