Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Im Anschluß an meine Untersuchung*, wann zwei nicht ratio-
nale Größen und c^, zwischen denen eine rationalzahlige Be-
ziehung von der Form besteht
(*2 = Po + Pi <A Px-lHi + pK!
in welcher K eine positive ganze Zahl bedeutet, für willkürliche
rationale Zahlen p^, p^, . . . p^ einer ganzzahligen irreduktiheln
Gleichung genügen können, und wie, wenn dies nicht statthaben
kann, die Bedingungen zwischen den Koefßzienten Po, Pi, ... er-
mittelt werden können, damit dies der Fall ist, will ich nunmehr
— worauf schon in jener Arbeit hingewiesen worden — die ana-
loge Untersuchung für homogene lineare Differentialgleichungen
durchzuführen suchen.
Wenn zwei Integrale yi und yg einer linearen Differential-
gleichung
(1) y^+ U (x) y " (x) y " . . . + r^ (x) y' + r^ (x) y = 0,
deren Koeffizienten rationale Funktionen von x sind, in der Be-
ziehung zueinander stehen
(2) yg = Po (x) yi + Pi (x) yi' + ....+ Pn_ 1 (x) y/" hyi,
worin p^ (x), p^ (x), . . . ebenfalls rational von x abhängen, aber
auch zum Teil verschwinden können, so kann, wenn angenommen
wird, daß y^ nicht zugleich das Integral einer gleichartigen linearen
Differentialgleichung von niedrigerer Ordnung mit rationalen Koeffi-
zienten ist, auf einen der Beziehung (2) analogen Zusammenhang
zwischen den anderen Integralen geschlossen werden. Denn da. die
Substitution von (2) in (1), weil y^ ein Integral von (1) ist, einen
linearen Ausdruck in yj und dessen Ableitungen nur bis zur
n — jyen Ordnung liefert, der nach der für y^ gemachten Annahme
i Vgl. Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften.
Jahrgang 1909. 2. Abhandlung.

1*