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https://doi.org/10.11588/diglit.37026#0010
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LeoKoenigsberger:
Es ergibt sich somit, dab, wenn y^ jhcht das Integral einer
linearen Ditferentialgleichung erster Ordnung ist, sich nicht für be-
liebig gegebene rationale Funktionen (x), pi (x), p^ (x) eine lineare
homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit in x rationalen
Koeffizienten bi!den labt, für welche ein anderes Integral y^ mit y^
in der Beziehung steht
Y2 = Po (x) Yi + Pi (x) y/ + Pu (x) y/',
und es sind zugleich die Bedingungen für die Substitutionskoefh-
zienten Po (x), p^ (x), pg (x) aufgestellt, unter denen dies möglich ist.
Um nun die Frage allgemein zu beantworten, ob sich stets
eine lineare homogene Differentialgleichung Ordnung mit in x
rationalen Koeffizienten aufstellen labt, in welcher zwei Integrale in
einer Beziehung von der Form stehen
Y2 = Po (x) Yi + Pi (x) y/ + - - . + P^ _ 1 (x) y/^
worin Po (x), p^ (x), . . . rational von x abhängen, und yi nicht
schon einer gleichartigen Differentialgleichung von niedere]' Ord-
nung als der genügt, und wenn dies nicht der Fall ist, die
Bedingungen zwischen den Substitutionskoeffizienten zu finden,
welche dies ermöglichen, könnte man den Ausdruck für y^ in
die Differentialgleichung einsetzen und vermöge der Voraussetzung,
fdab y, dieser Differentialgleichung genügt, die linke Seite der-
selben in einen in y^, y/, . . . y/" linearen Ausdruck trans-
formieren, dessen Koeftizienten der Voraussetzung für yi zufolge
gleich Null zu setzen sind. Wir wollen jedoch die oben ein-
geschlagene Methode festhalten und das Verfahren an einer zu
bildenden linearen Differentialgleichung dritter Ordnung
(18) y'" + r, (x) y" + r, (x) y' + 1-3 (x) y = 0
erläutern, für welche zwei Integrale in der Beziehung
(iÜ) yg = P3 (x) yi + Pi (x) y/ + P2 (x) Yi" = hy^
zueinander stehen sollen, wobei yi nicht schon einer linearen
Differentialgleichung von niederer Ordnung als der 3^ genügt.
Es ist aus den obigen Auseinandersetzungen ersichtlich, dab,
wenn die Differentialgleichung (18) irreduktibel sein soll, ihre drei
Fundamentalintegrale durch y^, hy^, fUyi dargestellt werden, so dab
(30) tUyt = a<) yi + ai hy^ + a^ h- y^
LeoKoenigsberger:
Es ergibt sich somit, dab, wenn y^ jhcht das Integral einer
linearen Ditferentialgleichung erster Ordnung ist, sich nicht für be-
liebig gegebene rationale Funktionen (x), pi (x), p^ (x) eine lineare
homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit in x rationalen
Koeffizienten bi!den labt, für welche ein anderes Integral y^ mit y^
in der Beziehung steht
Y2 = Po (x) Yi + Pi (x) y/ + Pu (x) y/',
und es sind zugleich die Bedingungen für die Substitutionskoefh-
zienten Po (x), p^ (x), pg (x) aufgestellt, unter denen dies möglich ist.
Um nun die Frage allgemein zu beantworten, ob sich stets
eine lineare homogene Differentialgleichung Ordnung mit in x
rationalen Koeffizienten aufstellen labt, in welcher zwei Integrale in
einer Beziehung von der Form stehen
Y2 = Po (x) Yi + Pi (x) y/ + - - . + P^ _ 1 (x) y/^
worin Po (x), p^ (x), . . . rational von x abhängen, und yi nicht
schon einer gleichartigen Differentialgleichung von niedere]' Ord-
nung als der genügt, und wenn dies nicht der Fall ist, die
Bedingungen zwischen den Substitutionskoeffizienten zu finden,
welche dies ermöglichen, könnte man den Ausdruck für y^ in
die Differentialgleichung einsetzen und vermöge der Voraussetzung,
fdab y, dieser Differentialgleichung genügt, die linke Seite der-
selben in einen in y^, y/, . . . y/" linearen Ausdruck trans-
formieren, dessen Koeftizienten der Voraussetzung für yi zufolge
gleich Null zu setzen sind. Wir wollen jedoch die oben ein-
geschlagene Methode festhalten und das Verfahren an einer zu
bildenden linearen Differentialgleichung dritter Ordnung
(18) y'" + r, (x) y" + r, (x) y' + 1-3 (x) y = 0
erläutern, für welche zwei Integrale in der Beziehung
(iÜ) yg = P3 (x) yi + Pi (x) y/ + P2 (x) Yi" = hy^
zueinander stehen sollen, wobei yi nicht schon einer linearen
Differentialgleichung von niederer Ordnung als der 3^ genügt.
Es ist aus den obigen Auseinandersetzungen ersichtlich, dab,
wenn die Differentialgleichung (18) irreduktibel sein soll, ihre drei
Fundamentalintegrale durch y^, hy^, fUyi dargestellt werden, so dab
(30) tUyt = a<) yi + ai hy^ + a^ h- y^