Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

1 Es seien q3^(i),(p^(T),...,<p^(T) indetn Intervall to<^T<t
eindeutige, unbeschränkt differentiierbare reelle Funktionen der
reellen Variablen i, so dab durch die Beziehungen
(1) ^ ^ = cp.(i), . . . , ^ = qp^(i)
in einem Raum von m Dimensionen ein stetiger Kurvenzug zwischen
den Punkten
(3) x/ = cpi(to), x^ = q),(to), . . . , = qp^(tj
und

(3) Xi = cpRt), Xg = qp,(t), . . . , x^ = cp^(t)
definiert wird.
Ferner bedeute

(4) u = f(T, .

E E.'
-1 , ^2' ^2 i


eine „Differentialfunktion", d.h. eine Funktion, welche von der
Variablen i nicht nur explicite, sondern auch durch Vermittelung
der Funktionen (1) und deren Ableitungen bis zu den angegebenen
Ordnungen abhängt.

Der Wert des Integrales

z = / u d T

variiert mit der Wahl der in den Integranden einzusetzenden
Funktionen (1), ist also wesentlich von dem Verlauf des durch (i)
definierten Kurvenzugs, welchen wir „Integrationsweg" nennen,
abhängig. Deshalb soll das Integral (5) im verallgemeinerten Sinne
als ,,Linienintegral" zwischen den Punkten (2) und (3) bezeichnet
werden. Wir wollen uns nun die Frage vorlegen, ob unter gewissen
besonderen Bedingungen das Integral (5) trotzdem vom Integrations-
wege unabhängig sein kann, so dab sein Wert lediglich durch die
,,Anfangslage" und die ,,Endlage" bestimmt wird. Dabei
soll aber unter ,,Anfangslage" nicht schlechthin der Punkt (2), unter
,,Endlage" nicht schlechthin der Punkt (3) verstanden werden;
vielmehr bezeichnen wir als ,,Anfangslage" die Gesamtheit der
Werte, welche die Funktionen (1) und ihre in dem Ausdrucke (4)
vorkommenden Ableitungen für T=t(, annehmen, als ,,Endlage" die
Gesamtheit der Werte dieser Größen für i = t.