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https://doi.org/10.11588/diglit.37315#0007
Uber eine Verallgemeinerung des Begriffes „Linlenintegral". (A. 11) 7
Wir können jetzt das Resultat unserer Untersuchung in dem
nachstehenden Satze zusammenfassen:
DAr .sweä. AeA'eAä/e .smDcAcn Aense?Ae% GreMDmyen ("/) Mnd /D
AVarcenGA/c D) ?o?A fD, Ae?*eM 7A?7?AD sAA j?uura'eG'e
A??rcA r/crudUnif/e VDecAen ver&b^Aea ?reAAe??- sA^aAAAe
7n D/ eo^/'bxYenAe ylA?eA?o?pe?? der A'AoAAmM ?? enAAicA ?.???A ün aA-
</e???eM?en .?A2A/ gern am&sew, ??b?u?A Au.? /)Acr/ruY f.5) Am?n ?u?A Mur
Acmu Aen.seA?e?? IFcU un, ?ee?u? Ai? U^eA-Aunv/cn /20/ YAcnAt?rA
Ae/)AcA^D sü?A.
Oder auch:
Die iAew/AAD?3 /AD sDAe% Aie MoAre?^A()/en unA Aü?reicAeMAeM
DeAhu/Mm/ew Aur* /Ar Aus UergcAwb?Ae^ Ac.s AuAer/reA.s /uAr AAer ei Me
AeiieAu/e ^es'cA7o.s??ene 70erre, eiurcA teeAAe sicA j'eAocA eb?e ^eruA-
7ini,e/e TVArAe A^e?? iu.S'.S'en 7?? Acren DnnAYen Aie grunAicAen in
AD UM/'De^enAen RAAiYen^en Acr Ahn Ai im? cruA/cA ?o?A i;u eAi-
e/dneinen sieiir/ 5 mA.
Die Untersuchung der Fälle, in welchen zwar die Gleichungen
(12) für ein gewisses Gebiet identisch erfüllt, die anderen Bedingungen
aber nicht realisierbar sind, verspüren wir uns auf eine andere
Gelegenheit. Es werden dabei, wie in der Theorie der gewöhn-
tichen Kurvenintegrale, die Zusammenhangsverhältnisse der Räume,
in welchen die Integrationswege verlaufen sollen, zu betrachten sein.
Um von derartigen Einschränkungen vorerst frei zu bleiben, wollen
wir im Folgenden das Bestehen der Identitäten (12) sowie die
Existenz endlicher und stetiger Ableitungen der Funktion u für den
ganzen unbegrenzten Raum (x^, Xg. . . ., Xm) voraussetzen.
3. Wenn die Gleichungen (12) identisch erfüllt sind, so ist,
wie soeben gezeigt wurde, das Integral (5) vom Integrationswege
unabhängig; sein Wert wird also lediglich durch die Zahlen 0 und t,
sowie durch die zu diesen gehörigen Daten (7) und (8) bestimmt.
Halten wir die Zahl t(, und die Anfangslage (7) fest, so geht das
Integral in eine Funktion von t, von den zu t gehörigen Werten
Xi, Xi', . . . der Koordinaten und ihrer Ableitungen über. Der Aus-
druck (9) für die Variation des Integrals, wmlche jetzt nur durch
oine Verschiebung der Endlage unter Beibehaltung des Wertes t
bewirkt wird, nimmt aber folgende Gestalt an:
Wir können jetzt das Resultat unserer Untersuchung in dem
nachstehenden Satze zusammenfassen:
DAr .sweä. AeA'eAä/e .smDcAcn Aense?Ae% GreMDmyen ("/) Mnd /D
AVarcenGA/c D) ?o?A fD, Ae?*eM 7A?7?AD sAA j?uura'eG'e
A??rcA r/crudUnif/e VDecAen ver&b^Aea ?reAAe??- sA^aAAAe
7n D/ eo^/'bxYenAe ylA?eA?o?pe?? der A'AoAAmM ?? enAAicA ?.???A ün aA-
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Acmu Aen.seA?e?? IFcU un, ?ee?u? Ai? U^eA-Aunv/cn /20/ YAcnAt?rA
Ae/)AcA^D sü?A.
Oder auch:
Die iAew/AAD?3 /AD sDAe% Aie MoAre?^A()/en unA Aü?reicAeMAeM
DeAhu/Mm/ew Aur* /Ar Aus UergcAwb?Ae^ Ac.s AuAer/reA.s /uAr AAer ei Me
AeiieAu/e ^es'cA7o.s??ene 70erre, eiurcA teeAAe sicA j'eAocA eb?e ^eruA-
7ini,e/e TVArAe A^e?? iu.S'.S'en 7?? Acren DnnAYen Aie grunAicAen in
AD UM/'De^enAen RAAiYen^en Acr Ahn Ai im? cruA/cA ?o?A i;u eAi-
e/dneinen sieiir/ 5 mA.
Die Untersuchung der Fälle, in welchen zwar die Gleichungen
(12) für ein gewisses Gebiet identisch erfüllt, die anderen Bedingungen
aber nicht realisierbar sind, verspüren wir uns auf eine andere
Gelegenheit. Es werden dabei, wie in der Theorie der gewöhn-
tichen Kurvenintegrale, die Zusammenhangsverhältnisse der Räume,
in welchen die Integrationswege verlaufen sollen, zu betrachten sein.
Um von derartigen Einschränkungen vorerst frei zu bleiben, wollen
wir im Folgenden das Bestehen der Identitäten (12) sowie die
Existenz endlicher und stetiger Ableitungen der Funktion u für den
ganzen unbegrenzten Raum (x^, Xg. . . ., Xm) voraussetzen.
3. Wenn die Gleichungen (12) identisch erfüllt sind, so ist,
wie soeben gezeigt wurde, das Integral (5) vom Integrationswege
unabhängig; sein Wert wird also lediglich durch die Zahlen 0 und t,
sowie durch die zu diesen gehörigen Daten (7) und (8) bestimmt.
Halten wir die Zahl t(, und die Anfangslage (7) fest, so geht das
Integral in eine Funktion von t, von den zu t gehörigen Werten
Xi, Xi', . . . der Koordinaten und ihrer Ableitungen über. Der Aus-
druck (9) für die Variation des Integrals, wmlche jetzt nur durch
oine Verschiebung der Endlage unter Beibehaltung des Wertes t
bewirkt wird, nimmt aber folgende Gestalt an: