Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Der bekannte ÄBELsche Fundamentalsatz der Integralrech-
nung, nach welchem, wenn das Integral einer algebraischen Funk-
tion einer Variabein in dieser algebraisch ausdrückbar ist, dies
auch in rationaler Form durch den Integranden möglich ist, ge-
stattet eine Ausdehnung auf lineare Differentialgleichungen, welche
die Bedeutung und Anwendbarkeit dieses Satzes klarer hervor-
treten läßt.
Sei ^2'--'^
ein Integralsystem der totalen Differentialgleichungen

dz^
dx
= fl (x,Z^,Zg,..
.Z,n)
dGn
dx
^Ü(X,VZ2,.
'.3„)

in denen f^,..,f^ rationale Funktionen der eingeschlossenen Grö-
ßen bedeuten, und sei eine lineare Differentialgleichung gegeben

dx dx
in welcher r^,..,r^, R wieder rationale Verbindungen darstellen,
werde ferner angenommen, daß diese Differentialgleichung ein
in x, algebraisches Integral u^ besitze, so wird dieses
Integral in jenen Größen rational ausdrückbar sein, wenn die
reduzierte homogene Differentialgleichung

(3)

in
d u

in—1
(1 U

i n
d X



n in x, ^ rationale Fundamentalintegrale besitzt.
Sei nämlich cy die Lösung der mit Adjungierung von
x, ^ irreduktibeln algebraischen Gleichung
(4) rF-j-p^(x,^, ..,^)rF ^-)-p^(x,^,..,4^) = 0 ,

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