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https://doi.org/10.11588/diglit.37417#0004
4 (A. 9)
L. Koenigsberger:
in welcher p^,..,p^ rationale Funktionen bedeuten, so werden zu-
folge des Differentialgleichungssystems (1)
du^ d"ip d^rp
^x' dx"
rational in x, und rp ausdrückbar sein und es wird sich
durch Substitution dieser Werte in die Differentialgleichung (2) eine
algebraische Gleichung in rp ergeben, welcher wegen der Irre-
duktibilität der Gleichung (4) sämtliche Lösungen der letzteren
genügen werden. Da nun, wie hieraus unmittelbar ersichtlich,
jede andere Lösung u^ der Gleichung (4) ein Integral der Diffe-
rentialgleichung (2), also u.,—cp ein Integral der reduzierten
Differentialgleichung (3) sein wird, so folgt aus der für die Fun-
damentalintegrale der letzteren gemachten Voraussetzung
Ug V. "t* (x, )
worin eine rationale Funktion der eingeschlossenen Größen
darstellt. Dies widerspricht aber der Annahme der Irreduktibilität
der Gleichung (4), und es muß daher v = l, also wird cp rational
in x, ausdrückbar sein.
Für den Fall, daß das Integralsystem der Differentialglei-
chungen (1) ein algebraisches ist, daß n = i und
ist, ergibt sich, da die reduzierte Differentialgleichung in =0
übergeht, der ÄBELsche Satz.
Will man den oben aufgestellten Satz nur in der ÄBELSchen
Auffassung aussprechen, also nicht nachweisen, daß cp selbst
rational in x, ausdrückbar ist, sondern nur zeigen, daß
es dann jedenfalls ein in diesen Größen rational ausdrückbares
Integral gibt, so braucht man die reduzierte Differentialgleichung
gar keiner Bedingung zu unterwerfen; denn wenn alle Lösungen
der Gleichung (4), wie gezeigt worden, der Differentialgleichung (2)
Genüge leisten, so wird auch
^ + "2+..
ein Integral der nicht homogenen Differentialgleichung sein.
L. Koenigsberger:
in welcher p^,..,p^ rationale Funktionen bedeuten, so werden zu-
folge des Differentialgleichungssystems (1)
du^ d"ip d^rp
^x' dx"
rational in x, und rp ausdrückbar sein und es wird sich
durch Substitution dieser Werte in die Differentialgleichung (2) eine
algebraische Gleichung in rp ergeben, welcher wegen der Irre-
duktibilität der Gleichung (4) sämtliche Lösungen der letzteren
genügen werden. Da nun, wie hieraus unmittelbar ersichtlich,
jede andere Lösung u^ der Gleichung (4) ein Integral der Diffe-
rentialgleichung (2), also u.,—cp ein Integral der reduzierten
Differentialgleichung (3) sein wird, so folgt aus der für die Fun-
damentalintegrale der letzteren gemachten Voraussetzung
Ug V. "t* (x, )
worin eine rationale Funktion der eingeschlossenen Größen
darstellt. Dies widerspricht aber der Annahme der Irreduktibilität
der Gleichung (4), und es muß daher v = l, also wird cp rational
in x, ausdrückbar sein.
Für den Fall, daß das Integralsystem der Differentialglei-
chungen (1) ein algebraisches ist, daß n = i und
ist, ergibt sich, da die reduzierte Differentialgleichung in =0
übergeht, der ÄBELsche Satz.
Will man den oben aufgestellten Satz nur in der ÄBELSchen
Auffassung aussprechen, also nicht nachweisen, daß cp selbst
rational in x, ausdrückbar ist, sondern nur zeigen, daß
es dann jedenfalls ein in diesen Größen rational ausdrückbares
Integral gibt, so braucht man die reduzierte Differentialgleichung
gar keiner Bedingung zu unterwerfen; denn wenn alle Lösungen
der Gleichung (4), wie gezeigt worden, der Differentialgleichung (2)
Genüge leisten, so wird auch
^ + "2+..
ein Integral der nicht homogenen Differentialgleichung sein.