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https://doi.org/10.11588/diglit.37417#0006
6 (A. 9)
L. Koenigsberger:
sein, worin q^, q^,... algebraische Funktionen A^r Ordnung und
g—Grades sind; und es wird die in x und rationale Funk-
tion rq, oder ohne Voraussetzung für die reduzierte Differential-
gleichung eine andere Integralfunktion nebst ihren Ableitungen
dieselbe Form haben
1 Kj—l
d^u Ki
(8) ^ nr = %k + ^ik Pi + - - - ^-ik Pi ^
worin die q wiederum denselben Charakter besitzen.
Nun ist aber die Gleichung
(9) z"' = p.
Kl_
mit Adj ungierung der in der Reihe (a) auf j/p^ folgenden Ele-
mente und algebraischer Funktionen A—-1^ Ordnung irreduk-
tibel; denn, wenn sie eine Lösung sp^q in welcher s eine cqte Ein-
heitswurzel ist, mit einer irreduktibeln Gleichung von niedrige-
rem Grade als dem oq^R und mit gleichartigen, aus jenen Ele-
menten und algebraischen Funktionen niederer Ordnung rational
zusammengesetzten Koeffizienten gemein hätte, so würde die
letztere Gleichung noch eine andere in der Form
gegebene Lösung besitzen und es würde sich gegen die Annahme der
Irreduktibilität der Grad derselben erniedrigen lassen, was nur
dann nicht möglich wäre, wenn der Grad der irreduktibeln Glei-
chung der erste, also ^/p^ rational durch ]/p2?--?]/p^ uüd alge-
braische Funktionen A—Rer Ordnung ausdrückbar wäre, und dies
war durch die obige Voraussetzung ausgeschlossen. Es ist somit
die Gleichung (9) mit Adj ungierung der angegebenen Größen
irreduktibel.
Setzt man nun die Ausdrücke (7) und (8) in die Differen-
tialgleichung (6) ein, so erhält man eine algebraische Gleichung
in p^q welcher wegen der Irreduktibilität der Gleichung (9) auch
genügt wird, wenn statt p^/°ü die Werte
sp^I, sKi-lpl/*i
substituiert werden, worin s eine primitive oq^ Einheitswurzel
bedeutet.
L. Koenigsberger:
sein, worin q^, q^,... algebraische Funktionen A^r Ordnung und
g—Grades sind; und es wird die in x und rationale Funk-
tion rq, oder ohne Voraussetzung für die reduzierte Differential-
gleichung eine andere Integralfunktion nebst ihren Ableitungen
dieselbe Form haben
1 Kj—l
d^u Ki
(8) ^ nr = %k + ^ik Pi + - - - ^-ik Pi ^
worin die q wiederum denselben Charakter besitzen.
Nun ist aber die Gleichung
(9) z"' = p.
Kl_
mit Adj ungierung der in der Reihe (a) auf j/p^ folgenden Ele-
mente und algebraischer Funktionen A—-1^ Ordnung irreduk-
tibel; denn, wenn sie eine Lösung sp^q in welcher s eine cqte Ein-
heitswurzel ist, mit einer irreduktibeln Gleichung von niedrige-
rem Grade als dem oq^R und mit gleichartigen, aus jenen Ele-
menten und algebraischen Funktionen niederer Ordnung rational
zusammengesetzten Koeffizienten gemein hätte, so würde die
letztere Gleichung noch eine andere in der Form
gegebene Lösung besitzen und es würde sich gegen die Annahme der
Irreduktibilität der Grad derselben erniedrigen lassen, was nur
dann nicht möglich wäre, wenn der Grad der irreduktibeln Glei-
chung der erste, also ^/p^ rational durch ]/p2?--?]/p^ uüd alge-
braische Funktionen A—Rer Ordnung ausdrückbar wäre, und dies
war durch die obige Voraussetzung ausgeschlossen. Es ist somit
die Gleichung (9) mit Adj ungierung der angegebenen Größen
irreduktibel.
Setzt man nun die Ausdrücke (7) und (8) in die Differen-
tialgleichung (6) ein, so erhält man eine algebraische Gleichung
in p^q welcher wegen der Irreduktibilität der Gleichung (9) auch
genügt wird, wenn statt p^/°ü die Werte
sp^I, sKi-lpl/*i
substituiert werden, worin s eine primitive oq^ Einheitswurzel
bedeutet.