Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

8 (A. 9) L. Koenigsberger:
die Differentialgleichung

d^ ^u

in
du
dx" + dx"-'

(o) Kg K]
+ rjx)u = q^ p," p,

ein Integral von der Form
Gl G
(o) Kg Ki
^"^Oi0p2 Pl
besitzen wird.
Schließt man genau so weiter auch für die algebraischen
Funktionen X—1^, X—2^, ... Ordnung, so erhält man das nach-
folgende Theorem:
Sei die lineare Differentialgleichung gegeben

d^u

^ + r (x) -
dx" ' ' dx"^

-j-r^(x)u = y ,

in welcher r^(x)...iy(x) rationale Funktionen von x bedeuten
und y die Lösung einer durch Wurzelzeichen auflösbaren alge-
braischen Gleichung in x ist, deren algebraische Elemente
W**, y—lter^ ,.' j[ter Ordnung mit

Axi - - - A^
Ax—n Ax—12 - - - Ax—i^
An A12 ... Ai^_^
bezeichnet werden mögen, von denen keines eine rationale Funk-
tion der nachfolgenden sein soll, dann wird die lineare Differen-
tialgleichung
in jR—
CtU] /\d ^1 ] /\ A/T
+r,W ,-^r + ".+'',0)u=R(x)M ,
dx dx

in welcher R(x) eine bestimmte rationale Funktion von x und

Al;

. ^X1 .^X2
Ai -y "'W\-n

.. A

a.
P^X—1
^X-l

ist, ferner die Größen a bestimmte positive ganze Zahlen dar-
stellen, welche auch den Wert Null annehmen können, ein In-
tegral von der Form
u = R^ (x)M