Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Der Abeische Fundamentaisatz der Integralrechnung. (A. 9) 9
besitzen, worin R^(x) wieder eine rationale Funktion von x ist.
In dem speziellen Faile des ÄBELSchen Satzes über die Dar-
steüung eines algebraisch ausführbaren ÄBELSchen Integrals
würde der Satz der Integralrechnung folgen, daß dann auch
stets mindestens ein Integral von der Form
/ R (x) M d x
existiert, dessen Wert sich durch
R^ (x)M
darstellen läßt, wenn M das Produkt positiver ganzzahliger Po-
tenzen der in y enthaltenen algebraischen Elemente bedeutet.
Es bedarf keiner weiteren Ausführung, daß sich mit Hilfe
des ÄBELSchen Satzes auch der oben für lineare Differential-
gleichungen bewiesene Satz ergibt, wenn die Darstellung der In-
tegrale derselben mit Hilfe der Variation der Konstanten durch
die Fundamentalintegrale der reduzierten Differentialgleichung
benutzt wird. Ebenso unmittelbar ist ersichtlich, in welcher
Form sich die Sätze von ÄBEL bezüglich der Reduktion von Inte-
gralen algebraischer Funktioenn auf Logarithmen, elliptische Inte-
grale usw. für lineare Differentialgleichungen erweitern lassen;
wenn nur die Bemerkung benutzt wird, dass, falls eine Lösung
einer irreduktibeln Gleichung algebraisch durch Wurzelzeichen
ausdrückbar ist, diese Eigenschaft auch allen Lösungen derselben
zukommt.