Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

4 (A.12)

L. Koenigsberger:

Bezeichnet man daher das einem speziellen Werte Xi von x, der
von Null und unendlich verschieden sei, entsprechende Integral
von (1) mit

(6)

yg -

Yi + X1YY2
1 + x^v

so wird sich aus (5) und (6), wenn ^ gleich der willkürlichen Kon-
stanten c gesetzt wird, das allgemeine Integral y der Differential-
gleichung (1) in der Form

y2(y3-yi)-cyi (yg-yg)
(yg-yi) - c(yg-ys)

als rationale Funktion von drei partikulären Integralen derselben
ergeben.
Es möge ferner noch eine Beziehung hervorgehoben werden,
die zwischen zwei Integralen der RiccATischen Differentialglei-
chung, welche einem Fundamentalsystem von Integralen der Dif-
ferentialgleichung (3) entsprechen, und eben diesen Integralen
besteht, und die sich aus der Gleichung für die Determinante des
Fundamentalsystems

UiUg-UsU^

-f fi(x,z)dx
ce

nach (4) in der Form ergibt
ce-Üi(*.2Ü*

Die Untersuchung der Form der algebraischen Integrale der
Differentialgleichung (1) soll nach den drei Fällen gesondert werden,
daß die Differentialgleichung zweiter Ordnung (3) zwei transzen-
dente Fundamentalintegrale, oder ein transzendentes und ein al-
gebraisches oder endlich zwei algebraische Fundamentalintegrale
besitzt.
Hat die Differentialgleichung (3)
I. zwei transzendente Fundamentalintegrale G und G, so
dürfen wir annehmen, daß sie kein algebraisches Integral u^ besitzt;
denn wäre dies der Fall, so müßten G oder G mit Ui ein Fundamen-
talsystem von Integralen bilden, da eine lineare Relation mit kon-