Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die algebraischen Integrale der Riccatischen Differentialgleichung. (A. 12} 7

Hat die Differentialgleichung (3)
II. ein algebraisches und ein transzendentes Fundamental-
integral Ui und ti, dann muß Ui die Lösung einer binomischen
Gleichung sein, da, wenn sie die Lösung einer nicht binomischen,
mit Adjungierung von x und z irreduktibeln Gleichung wäre,
bekanntlich jede Lösung Ug derselben ebenfalls ein Integral der
Differentialgleichung (3) wäre, und daher, weil u^ nicht ein kon-
stantes Multiplum von Ui sein soll, Ui und Ug ein Fundamental-
system von algebraischen Integralen bildeten, was unmöglich ist,
da die Differentialgleichung das transzendente Integral ti haben
sollte -—- es wird somit Ui die mit Adjungierung von x und z irreduk-
tible Form haben
Ul = R(x,zV ,

worin R eine rationale Funktion bedeutet, und daher vermöge der
Substitution (4)

1 R' (x, z)
v R (x, z)

also ein Integral der RiccATischen Differentialgleichung eine ratio-
nale Funktion von x und z sein.
Nun können drei Fälle eintreten; entweder
a) besitzt die Differentialgleichung (1) außer diesem alge-
braischen, in x und z rationalen Integrale nur transzendente Inte-
grale, wie z. B. die Gleichung

2x n(n + l)
y + y -1—y + v s = o,

1-x'

l-x2

worin n eine positive ganze Zahl bedeutet, und welcher die Dif-
ferentialgleichung zweiter Ordnung der Kugelfunktionen

u"

2x
1—x^

u +

n (n + 1)
1-xS

U =:

0

entspricht, für welche die n*° Kugelfunktion P.(x) ein partiku-
läres Integral Ui liefert, welches eine ganze Funktion von x ist,
während das andere partikuläre Fundamentalintegral ^ trans-
zendent ist, so daß