Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die algebraischen Integrale der Riccatischen Differentialgleichung. (A. 12) 9
das Fundamentalsystem von Integralen

u, = x"3, u, = e'

hat, die beiden rationalen Integrale

Yi -

1
2x '

72 = J

besitzen, während alle anderen Integrale transzendent und in der
Form enthalten sind
l + 2xx^ex

Genügt jedoch
2. das algebraische Integral einer nicht binomischen alge-
braischen, mit Adjungierung von x und z irreduktibeln Gleichung,
so werden, da alle Lösungen dieser Gleichung wiederum Integrale
sein müssen, mindestens drei algebraische Integrale existieren,
und somit nach (7) auch wieder alle Integrale derselben alge-
braisch sein.
Wir finden somit, daß unter der Annahme, daß die Differential-
gleichung (3) ein algebraisches und ein transzendentes Integral
besitzt, der RiccATischen Differentialgleichung außer dem ratio-
nalen Integrale
1 R'(x,z)
Yi = —-Ry—G
v R (x, z)
entweder nur transzendente Integrale, oder noch ein in x und z
rationales Integral genügen, während alle anderen transzendent
sind, oder nur algebraische Integrale, welche in (7) enthalten sind,
wenn
y2 = +]/% i 73 = -]/^
gesetzt werden.
Besitzt endlich
c) die Differentialgleichung (1) außer dem in x und z ratio-
nalen Integrale y^ noch irgend zwei algebraische Integrale, so
werden nach (7) wieder alle Integrale der RiccATischen Differen-
tialgleichung algebraisch sein.