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https://doi.org/10.11588/diglit.34797#0011
Die algebraischen Integrale der Riccatischen Differentialgleichung. (A. 12) 11
Ferner erhalten wir für die Determinante der linearen homo-
genen Differentialgleichung (3) die Beziehung
Ü'.dx
UiUg — UgUi = ce
woraus unter der für den Fall III. gültigen Voraussetzung, daß
Ui und Ug algebraische Funktionen von x sind, sich wiederum aus
den eben angegebenen Gründen für w der Ausdruck
ergibt, worin p eine rationale Funktion und v eine positive ganze
Zahl bedeutet, so daß die Gleichung (8) in
übergeht.
In meiner oben erwähnten Arbeit wurde nun gezeigt, daß,
wenn die beiden algebraischen Fundamentalintegrale von (3)
Ui und Ug mit Adjungierung von x, z, w irreduktibeln Gleichungen
genügen, in denen keine der Lösungen mit Ui resp. Ug ein Funda-
mentalsystem bilden, diese Gleichungen also nach den dortigen
Auseinandersetzungen binomische sind, die Integrale Ui und u^
durch Wurzeln mit gleichem Index aus rationalen Funktionen
von x und z dargestellt sind, für welche der Index = x-v ist, worin
x eine positive ganze Zahl, und v durch
definiert ist, so daß
ist. In diesem Falle werden nach (4)
XV r,(x,z) ' 3 XV r,(x,z)
Ferner erhalten wir für die Determinante der linearen homo-
genen Differentialgleichung (3) die Beziehung
Ü'.dx
UiUg — UgUi = ce
woraus unter der für den Fall III. gültigen Voraussetzung, daß
Ui und Ug algebraische Funktionen von x sind, sich wiederum aus
den eben angegebenen Gründen für w der Ausdruck
ergibt, worin p eine rationale Funktion und v eine positive ganze
Zahl bedeutet, so daß die Gleichung (8) in
übergeht.
In meiner oben erwähnten Arbeit wurde nun gezeigt, daß,
wenn die beiden algebraischen Fundamentalintegrale von (3)
Ui und Ug mit Adjungierung von x, z, w irreduktibeln Gleichungen
genügen, in denen keine der Lösungen mit Ui resp. Ug ein Funda-
mentalsystem bilden, diese Gleichungen also nach den dortigen
Auseinandersetzungen binomische sind, die Integrale Ui und u^
durch Wurzeln mit gleichem Index aus rationalen Funktionen
von x und z dargestellt sind, für welche der Index = x-v ist, worin
x eine positive ganze Zahl, und v durch
definiert ist, so daß
ist. In diesem Falle werden nach (4)
XV r,(x,z) ' 3 XV r,(x,z)