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https://doi.org/10.11588/diglit.34797#0013
Die algebraischenlntegralederRiccatischenDifferentiaigleichung. (A. 12) 13
Wir sehen aber zugleich allgemein, daß, wenn die Differential-
gleichung (3) unter der Voraussetzung, daß dieselbe zwei alge-
braische Fundamentalintegrale besitzt, und ihr ein in x, z, w
rationales Integral angehört, dann auch alle Integrale derselben
in diesen Größen rational sind, und wir somit auf den Fall zurück-
geführt werden, daß auch alle Integrale der RiccATischen Gleichung
rationale Funktionen von x, z, w sind. Bemerken wir endlich, daß
in der oben angeführten Arbeit gezeigt worden, daß für den Fall
der Existenz eines in x, z, w rationalen Integrales der Diffe-
rentialgleichung (3) das allgemeine Integral nur als Funktion von
x und z, und zwar in der Form dargestellt werden kann
V__ V _
(14) U - Ci ]/ Pi (x, z) + Cg ]/ Pg (x, z) ,
worin Pi und Pg rationale Funktionen bedeuten, so wird unter den
gemachten Voraussetzungen der Ausdruck für das allgemeine Inte-
gral der RiccATischen Gleichung lauten
(15)
V V
!- I''
Ist nun aber in der Gleichung (12) Si(x,z,w) =0, so hat die
Differentialgleichung (3), wie in der eben erwähnten Untersuchung
nachgewiesen wurde, überhaupt kein in x, z, w rationales Integral,
wenn die Gleichung (12) nicht wieder eine binomische ist —- und
dieser Fall ist oben behandelt worden.
Wir haben somit nur noch den Fall zu betrachten, in welchem
die Differentialgleichung (12) kein in x, z, w rationales Integral
besitzt, und zwei Lösungen Ui und Ug der mit Adjungierung von
x, z, w irreduktibeln, nicht binomischen Gleichung
(16)
u"' + Sg(x,Z,w)u"' " + --- +
x,z,w
= 0
ein Fundamentalsystem algebraischer Integrale bilden. Dann ist aber
weiter in jener Arbeit hervorgehoben worden, daß, weil Ug eine
rationale Funktion von rR ist mit in x, z, w rationalen Koeffizienten,
sich sämtliche Lösungen dieser Gleichung m^n Grades in mg
Gruppen von je nR Elementen, worin m = nii-nig ist, nach iterier-
Wir sehen aber zugleich allgemein, daß, wenn die Differential-
gleichung (3) unter der Voraussetzung, daß dieselbe zwei alge-
braische Fundamentalintegrale besitzt, und ihr ein in x, z, w
rationales Integral angehört, dann auch alle Integrale derselben
in diesen Größen rational sind, und wir somit auf den Fall zurück-
geführt werden, daß auch alle Integrale der RiccATischen Gleichung
rationale Funktionen von x, z, w sind. Bemerken wir endlich, daß
in der oben angeführten Arbeit gezeigt worden, daß für den Fall
der Existenz eines in x, z, w rationalen Integrales der Diffe-
rentialgleichung (3) das allgemeine Integral nur als Funktion von
x und z, und zwar in der Form dargestellt werden kann
V__ V _
(14) U - Ci ]/ Pi (x, z) + Cg ]/ Pg (x, z) ,
worin Pi und Pg rationale Funktionen bedeuten, so wird unter den
gemachten Voraussetzungen der Ausdruck für das allgemeine Inte-
gral der RiccATischen Gleichung lauten
(15)
V V
!- I''
Ist nun aber in der Gleichung (12) Si(x,z,w) =0, so hat die
Differentialgleichung (3), wie in der eben erwähnten Untersuchung
nachgewiesen wurde, überhaupt kein in x, z, w rationales Integral,
wenn die Gleichung (12) nicht wieder eine binomische ist —- und
dieser Fall ist oben behandelt worden.
Wir haben somit nur noch den Fall zu betrachten, in welchem
die Differentialgleichung (12) kein in x, z, w rationales Integral
besitzt, und zwei Lösungen Ui und Ug der mit Adjungierung von
x, z, w irreduktibeln, nicht binomischen Gleichung
(16)
u"' + Sg(x,Z,w)u"' " + --- +
x,z,w
= 0
ein Fundamentalsystem algebraischer Integrale bilden. Dann ist aber
weiter in jener Arbeit hervorgehoben worden, daß, weil Ug eine
rationale Funktion von rR ist mit in x, z, w rationalen Koeffizienten,
sich sämtliche Lösungen dieser Gleichung m^n Grades in mg
Gruppen von je nR Elementen, worin m = nii-nig ist, nach iterier-